2008年数四考研数学真题及解析

第1页共3页2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设0ab，则10limnnnnab（）Aa.B1a.Cb.D1b.（2）设函数()fx在区间[1,1]上连续，则0x是函数0()()xftdtgxx的（）A跳跃间断点.B可去间断点.C无穷.D振荡.（3）设()fx是连续奇函数，()gx是连续偶函数，区域(,)01,Dxyxxyx则正确的（）A()()0Dfygxdxdy.B()()0Dfxgydxdy.C[()()]0Dfxgydxdy.D[()()]0Dfygxdxdy.（4）曲线方程为()yfx函数在区间[0,]a上有连续导数，则定积分'0()axfxdx（）A曲边梯形ABCD面积.B梯形ABCD面积.C曲边三角形ACD面积.D三角形ACD面积.（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵.若30A，则（）AEA不可逆，EA不可逆.BEA不可逆，EA可逆.CEA可逆，EA可逆.DEA可逆，EA不可逆.（6）设1221A，则在实数域上与A合同的矩阵为（）A2112B2112C2112D1221.（7）随机变量,XY独立同分布且X的分布函数为Fx，则max,ZXY的分布函数为（）A2Fx.BFxFy.第2页共3页C211Fx.D11FxFy.（8）随机变量0,1XN，1,4YN且相关系数1XY，则（）A211PYX.B211PYX.C211PYX.D211PYX.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,xxcfxxcx在(,)内连续，则c.（10）已知函数()fx连续且0()lim2xfxx，则曲线()yfx上对应0x处切线方程为.（11）21103lnydxxxdy.（12）微分方程2()0xyxedxxdy通解是y.（13）设3阶矩阵A的特征值互不相同，若行列式0A，则A的秩为.（14）设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则2PXEX.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限201sinlimlnxxxx.(16)（本题满分10分）设10fxttxdt，01x，求fx的极值、单调区间和凹凸区间.(17)（本题满分10分）求函数222uxyz在在约束条件22zxy和4xyz下的最大和最小值.(18)（本题满分10分）设,zzxy是由方程22xyzxyz所确定的函数，其中具有2阶导数且1时，求(1)dz（2）记1,zzuxyxyxy，求ux.第3页共3页(19)（本题满分10分）fx是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有220ttfxdxfxdx（2）证明202xttgxftfsdsdt是周期为2的周期函数．（20）（本题满分11分）设矩阵2221212nnaaaAaa，现矩阵A满足方程AXB，其中1,,TnXxx，1,0,,0B，（1）求证1nAna（2）a为何值，方程组有唯一解（3）a为何值，方程组有无穷多解(21)（本题满分11分）设A为3阶矩阵，12,为A的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足323A，证明（1）123,,线性无关；（2）令123,,P，求1PAP.（22）（本题满分9分）设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为11,0,13PXii，Y概率密度为1010Yyfy其它，记ZXY（1）求102PZX（2）求Z的概率密度（23）（本题满分9分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.