2009届全国名校真题模拟专题训练9-立体几何解答题4(数学)

2009届全国名校真题模拟专题训练09立体几何三、解答题(第四部分)76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1．（1）求直线EC1与FD1所成角的余弦值；（2）求二面角C-DE-C1的平面角的正切值．解：以A为原点，1,,ABADAA分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．于是，1(3,3,0),(1,3,2)DEEC，1(4,2,2)FD．（1）设EC1与FD1所成角为，则11222222111(4)322221cos||||14||||132(4)22ECFDECFD．（2）设向量(,,)xyzn与平面C1DE垂直，则有133013202DExyxyzxyzECnn．∴(,,)(1,1,2),222zzzzn其中z＞0．取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．∵向量1AA=（0，0，2）与平面CDE垂直，∴n0与1AA所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．∵01011010226cos3||||114004AAAAnn，∴2tan2．77、(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高三调研)已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）.（Ⅰ）证明：平面PAD⊥PCD；（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分1:2:MACBPDCMAVV；（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.（I）证明：依题意知：ABCDPADADCD面面又..PADDC平面…………2分.PCDPADPCDDC平面平面面又…4分（II）由（I）知PA平面ABCD∴平面PAB⊥平面ABCD.…………5分在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，设MN=h则312213131hhhSVABCABCM21112)21(3131PASVABCABCDP…………8分要使21,1:23:)321(,1:2:hhhVVMACBPDCMA解得即即M为PB的中点.…………10分（Ⅲ）连接BD交AC于O，因为AB//CD，AB=2，CD=1，由相似三角形易得BO=2OD∴O不是BD的中心……………………10分又∵M为PB的中点∴在△PBD中，OM与PD不平行∴OM所以直线与PD所在直线相交又OM平面AMC∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；（2）求证：PC1∥面MNQ．主要得分步骤：（1）AB⊥面PCC1；4′MN∥AB，故MN⊥面MNQMN在平面MNQ内，∴面PCC1⊥面MNQ；7′（2）连AC1、BC1，BC1∥NQ，AB∥MN面ABC1∥面MNQ11′PC1在面ABC1内．∴PC1∥面MNQ．13′79、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱111ABCABC,90BCA,2ACBC,1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知11BAAC.(Ⅰ)求证：1AC平面1ABC；(Ⅱ)求1CC到平面1AAB的距离；(Ⅲ)求二面角1AABC的大小.解法1：(Ⅰ)∵1AD平面ABC,∴平面11AACC平面ABC,又BCAC,∴BC平面11AACC,得1BCAC,又11BAAC,∴1AC平面1ABC.…………………4分错错误错误错误!未找到错误!未找到错误!未找到错误错误!错误!错误!未错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(Ⅱ)∵11ACAC,四边形11AACC为菱形,故12AAAC,又D为AC中点,知∴160AAC.取1AA中点F,则1AA平面BCF,从而面1AAB面BCF,…………6分过C作CHBF于H,则CH面1AAB,在RtBCF中,32,BCCF,故2217CH,即1CC到平面1AAB的距离为2217CH.…………………8分(Ⅲ)过H作1HGAB于G,连CG,则1CGAB,从而CGH为二面角1AABC的平面角,在1RtABC中,12ACBC,∴2CG,…………10分在RtCGH中,427sinCHCGCGH,故二面角1AABC的大小为427arcsin.…………………12分解法2：(Ⅰ)如图,取AB的中点E,则//DEBC,∵BCAC,∴DEAC,又1AD平面ABC,以1,,DEDCDA为,,xyz轴建立空间坐标系,…………1分则(0,1,0)A,(0,1,0)C,(2,1,0)B,1(0,0,)At,1(0,2,)Ct,1(0,3,)ACt,1(2,1,)BAt,(2,0,0)CB,由10ACCB,知1ACCB,又11BAAC,从而1AC平面1ABC.…………………4分(Ⅱ)由21130ACBAt,得3t.设平面1AAB的法向量为(,,)nxyz,13(0,1,)AA,(2,2,0)AB,130220nAAyznABxy,设1z,则33(,,1)n.…………6分∴点1C到平面1AAB的距离1||2217||ACnnd.…………………8分(Ⅲ)设面1ABC的法向量为(,,)mxyz,13(0,1,)CA,(2,0,0)CB,∴13020mCAyzmCBx.…………10分设1z,则3(0,,1)m,故77||||cos,mnmnmn,根据法向量的方向可知二面角1AABC的大小为77arccos.…………………12分80、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M.（Ⅰ）求PB与平面ABCD所成角的大小；（Ⅱ）求证：PB⊥平面ADMN；（Ⅲ）求以AD为棱，PAD与ADMN为面的二面角的大小.（I）解：取AD中点O，连结PO，BO.△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，…………1分又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以，PO⊥平面ABCD，…………3分BO为PB在平面ABCD上的射影，所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角.…………4分错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。由已知△ABD为等边三角形，所以PO=BO=3，所以PB与平面ABCD所成的角为45°.………………5分（Ⅱ）△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，………………6分又，PA=AB=2，N为PB中点，所以AN⊥PB，………………8分所以PB⊥平面ADMN.………………9分（Ⅲ）连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，因为AD⊥PO，所以AD⊥NO，………………11分故∠PON为所求二面角的平面角.因为△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，所以∠PON=45°……………12分81、(山东省济南市2008年2月高三统考)如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求锐二面角B—PD—C的余弦值．解：（1）如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F1分又E是PC的中点，所以，EF∥AP2分∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD4分（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP面PAD，∴AP⊥CD6分又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD7分又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD8分（3）由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则A（1，0，0），P（0，0，1）9分由（2）知(1,0,1)AP是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），(2,1,0)BD，(1,0,1)PD10分设面BPD的法向量(,,)nxyz，错误!未找到引用源。由,nPDnBD得200xyxz取1x，则(1,2,1)n，向量(1,0,1)AP和n的夹角的余弦(1,2,1)(1,01)332611分所以，锐二面角B—PD—C的余弦值3312分82、(山东省聊城市2008届第一期末统考)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.（1）求证：AM//平面BDE；（2）求二面角A—DF—B的大小.（1）解：记AC与BD的交点为O，连接OE………………1分∵O，M分别是AC、EF的中点，且四边形ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM//OE，又OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM//平面BDE.……………………4分（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF，垂足为S，连接BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，ADAF=A，∴AB⊥平面ADF.…………………………6分又DF平面ADF，∴DF⊥AB，又DF⊥AS，ABAS=A，∴DF⊥平面ABS.又BS平面ABS，∴DF⊥SB.∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角.……………………8分在Rt△ASB中，AS,2,36AB∴3tanASB∴∠ASB=60°.……………………………………10分（本题若利用向量求解可参考给分）83、(山东省实验中学2008届高三第三次诊断性测试)如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，BCAC，且BCAC．（1）求证：AM平面EBC；（2）求直线AB与平面EBC所成的角的大小；（3）求二面角CEBA的大小．解法一：(Ⅰ)∵四边形ACDE是正方形，ECAMACEA,．………………………1分∵平面ACDE平面ABC，又∵ACBC，BC平面EAC．……………………2分AM平面EAC，BCAM．……………3分AM平面EBC．………………4分(Ⅱ)连结BM，AM平面EBC，ABM是直线AB与平面EBC所成的角．………5分设aBCACEA2，则aAM2，aAB22，………………………6分21sinABAMABM，30ABM．即直线AB与平面EBC所成的角为30…8分（Ⅲ）过A作EBAH于H，连结HM．……………………9分AM平面EBC，EBAM．EB平面AHM．AHM是二面角CEBA的平面角．……10分∵平面ACDE平面ABC，EA平面ABC．EAAB．在EABRt中，EBAH，有AHEBABAE．由(Ⅱ)所设aBCACEA2可得aAB22，aEB32，322aEBAB