求轨迹的几种求法

三、定义法分析题设几何条件，根据所学曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.椭圆的定义：双曲线的定义：抛物线的定义：圆的定义：|PC|=r(r0)|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(02a|F1F2|)|PF|=dP-l(Fl)由题设条件，根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状后，直接写出曲线的方程．一、定义法求轨迹方程的特征二、“定义法”求轨迹方程的一般步骤一建轴设点二定型三定方程四定范围例1、如果点在运动过程中，总满足关系式，2222(3)(3)10,xyxy点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程。：定义法[例2]已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．练习：知三角形ABC的一边BC长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程答：)0(1162522yyx14已ACOyxO1O2M练习：已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．ABSSABSAB探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动圆圆心到两定点的距离的和与差不放。C经过点A(5,0)且与圆C22(5)49xy外切的圆的圆心P的轨迹方程ＡCP例3：变式2：169相rr13-rM1、如图，圆C：(x+1)2+y2=9内一点A(1，0)，与圆上一动点Q的连线AQ的垂直平分线交CQ于P．当Q在圆C上运动一周时，则动点P的轨迹方程为________．CyxAQP问题2OxyQPF1F2问题22、已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线【探究1】如图,已知线段AB=4,动圆O′与线段AB切于点C,且AC-BC=2,过点A､B分别作⊙O′的切线,两切线相交于P,且P､O′均在AB同侧,建立适当坐标系,当O′位置变化时,求动点P的轨迹E的方程.2【解析】以AB的中点O为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系(图略),则A(-2,0),B(2,0).由切线长定理可得|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=24,∴点P的轨迹是以点A､B为焦点的双曲线的右支(不包括顶点).∵a=,c=2,∴b2=2.∴动点P的轨迹方程是:x2-y2=2(x).222想一想:问题1：一动圆与圆O1：(x+3)2+y2=4外切，同时与圆O2：(x-3)2+y2=9内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么类型的曲线．在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件使动圆圆心形成新的轨迹？已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.（1）△PAB的周长为10;（2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）;（3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.【例题3】【解析】(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，故P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b=，因此其方程为（y≠0）.（2）设圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a=1，2c=4，即a=,c=2,b=，因此其方程为（3）依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4.∴方程为y2=-8x.105-5-10-15y-20-101020PONM1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则P点的轨迹方程是______________.的轨迹方程是则圆心相内切同时与圆外切与圆一动圆如图PyxNyxMP,100)3(:,4)3(:,22222.15105-5-10-30-20-1010PNABM.,,,,)0,3(,64)3(22的轨迹方程求动点为垂足的交点为的中垂线和直线线段上的一个动点为圆为一定点的方程为已知圆PNPAMMBAMByxA3.【练习3】)1(0xy1362722yx15105-5-10-30-20-1010PNABM,:PBPM由已知可得解.,,,,)0,3(,64)3(22的轨迹方程求动点为垂足的交点为的中垂线和直线线段上的一个动点为圆为一定点的方程为已知圆PNPAMMBAMByxA6,4ABAM又为焦点的椭圆的轨迹是以点BAP,)0(12222babyax＋设椭圆的方程为62,82:ca由题意得171622yxP的轨迹方程为点AMPAPM且ABPBPAPMPA8734222b【练习3】第3题15105-5-10-15-20-101020PNABM【练习3】第3题-----变式.,,,,)0,3(,16)3(22的轨迹方程求动点为垂足的交点为的中垂线和直线线段上的一个动点为圆为一定点的方程为已知圆PNPAMMBAMByxA16.,,,,)0,3(,16)3(22的轨迹方程求动点为垂足的交点为的中垂线和直线线段上的一个动点为圆为一定点的方程为已知圆PNPAMMBAMByxA16【练习3】第3题-----变式,:PBPM由已知可得解15105-5-10-15-20-101020PNABM6,4ABAM又64PAPBPAPM为焦点的双曲线的左支的轨迹是以点BAP,)0,0(12222babyax设双曲线的方程为62,42:ca由题意得523222b)2(15422xyxP的轨迹方程为点AMPAPM且AMPAPM且ABPAPBPAPM48.(能力题,中)设Q是圆C:(x+1)2+y2=16上的动点,另有A(1,0),线段AQ的垂直平分线交直线CQ于点P,当点Q在圆上运动时,点P的轨迹方程是________.22xy143解析:设P(x,y),∵点P是线段AQ垂直平分线上的一点,∴|PA|=|PQ|,∴|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=42,∴点P的轨迹是以点A､C为焦点的椭圆,且a=2,c=1,b2=3,∴点P的轨迹方程为.22xy143222222212222212例：求下列动圆圆心M的轨迹(1)与圆C:(x+2)+y=4内切,且过点A(2,0);（2）与圆C:x+(y-1)=1和圆C:x+(y+1)=4都外切;(3)与圆C:(x+3)+y=9外切,且与圆C:(x-3)+y=1内切.22:(1)1(1)()3yxx解左支2243(2):41()()34xyy上支且在两圆外部22(3)1(2).45xyx方法：利用双曲线的定义求轨迹方程题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点P（x,y）的解析式.一、直接法例3如图，设点A、B的坐标分别为(-5,0)，(5,0).直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为,求M的轨迹方程.49ABMyOx方法3：直接法,,:,,,,.C.1F10lx1PPlQQPQFFPFQP典例已知点直线为坐标平面上的动点过作直线的垂线垂足为点且求动点的轨迹方程,,Q1,y,,(,),(,)2,y.:4x.2PxyQPQFFPFQx102yx1yCy【解】设动点则由得化简得【例题1】.,259,),05(),05(的轨迹方程求顶点于所在直线的斜率之积等边，，的两个顶点坐标分别是CBCACBAABC则有的坐标为解：设顶点),,(yxC5,5xykxykBCAC25955xyxy由题意知092525922yx化简得192522yx即)5(x)5(x)5(x它表示何种曲线呢？2.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是______________________.y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0)1.已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1:2的点的轨迹,则此曲线的方程是______________.22(1)4xyPABxyo解：设动圆圆心为P(x,y).由题，得即-4x+y2=4|x|得动圆圆心的轨迹方程为y=0(x0),或y2=8x(x0)【练习】2222221(1)42(3)xyxyxy平方化简得:9.(经典题,中)△ABC的顶点B(-1,0),C(2,0)若∠ACB=2∠ABC,则顶点A的轨迹方程为________.()22yx1x13二、待定系数法题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程,然后结合问题的条件,建立参数a,b,c,p满足的等式,求得其值,再代入所设方程.1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点P（-6，-3），则抛物线方程为__________212xy【练习2】.______________412736222则双曲线方程为线的实轴长为且双曲有共同的焦点、设双曲线与椭圆，，yx15422yx四、代入法（相关点法）当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点Q的运动时，可利用代入法，其关键是找出两动点的坐标的关系。设所求动点P坐标(x,y)，再设与P相关的已知点坐标为Q(x0,y0)，找出P.Q之间的坐标关系，并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根据点Q的运动规律得出关于x0,y0的关系式,把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式中,即得所求轨迹方程.讲授新课例1.yx..2的轨迹中点，求线段线段轴作垂向从这个圆上任意一点半径为心为坐标原点，如图，已知一个圆的圆MPPPPxP例2、如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？224yx分析：点P在圆上运动，点P的运动引起点M运动。224yx解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则x=x0,y=y0/2.因为点P(x0,y0)在圆上，所以把x0=x,y0=2y代入方程(1)，得即所以点M的轨迹是一个椭圆。22400yx224yx2244yx2214xy此法实际上是利用中间变量x0,y0求轨迹方程【例题4】.)0,6(,191622连线的中点的轨迹方程求它与定点上移动一动点在椭圆Myx【练习4】2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-4-3-2-11234PNOM的轨迹方程。的中点为垂足，求线段，作垂线段轴向，从圆上任意一点已知圆PMNNMNxMyx4.1228642-2-4-6-10-5510PBAO.,,,,2.2的轨迹方程求点且满足上在点轴上滑动和轴分别在和两个端点长为线段PBPPAABPyxBAaAB1422yx222ayx五、参数法如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数.【例题5】解：设动直线方程为：y=x+b，和椭圆方程联立得：x2+4y2-4x=0①y=x+b②5x2+8bx-4x+4b2=0设中点M（x，y），则x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与②联立消去参数b，得：x+4y-2=0（椭圆内的一段）倾斜角为450的直线与椭圆交于A、B两点，求AB中点的轨迹方程。xyoAB14)2(22yx【练习5】1.过原点的直线与椭圆相交，求弦中点的轨迹方程。14)2(22yx2.如图,过点A(-3,0)的直线l与曲线C：x2+2y2=4交于A,B两点.作平行四边形OBPC，求点P的轨迹。AoxyBCPoxyMA【练习5】解：设OA斜率为k（k∈R），由y