2009年GCT数学考试真题及答案解析

2009年GCT数学试题参考解答（25题，每题4分，满分100分）1、2)131197531(120082010(C)。A、41B、49C、1681D、2401解：原式=222222(20082)20081(20081)(4149)411681494949，选（C）。2、图1直角坐标系xOy中的曲线是二次函数y=f(x)=(B)。A、-x2-6x-5B、x2-4x-5C、-x2+6x-5D、x2+4x-5解：令2124501,5yxxxx，选（B）。3、若将正偶数2，4，6，8，10，12，14，16，……依次排成一行：246810121416……则从左向右数的第101个数码是（A）。A、1B、2C、3D、4解：个位数有4个，十位数有90个，百位数100，102，104，则从左向右数的第101个数码是1，选（A）。4、如图2，长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b（b＞a）。若将长方形ABCD绕A点顺时针旋转90°，则线段CD扫过的面积（阴影部分）等于（A）。A、42aB、4（b2-a2）C、42bD、4（b-a）2解：222211111()42244Abaababba,选（A）。5、若两个正数的等差中项为15，等比中项为12，则这两数之差的绝对值等于（D）。A、7B、9C、10D、18解：2212121221530,12144,301440,24,6,xxxxxxxx24618，选（D）。6、函数y=f(x)是定义在（-∞,+∞）上的周期为3的周期函数，图3表示的是该函数在区间[-2，1]上的图像，则)4()3()2009()1(ffff的值等于（C）。A、-2B、0C、2，D、4解：(1)1,(2009)(2)(1)1,(3)(0)1,(4)(1)2ffffffff，故原式=11212，选（C）。7、等腰⊿ABC中，AB＝AC=3，底边BC＞3,则顶角∠A的取值范围是（D）。A、（0，4）B、（3,4）C、（32,3）D、（,32）解：22221293266,,23BCABACABACcosAcosAcosAA，选（D）。8、甲、乙两车分别从A，B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米/时，乙车的速度是40千米/时，当甲车驶到A，B两地路程的31，再前行50千米时与乙车相遇，A，B两地的路程是（A）千米。A、225B、C、215D、解：设经t小时相遇，190504090,2.5,902253tttttkm，选（A）。9、若复数z2＝1-,1iz2＝-2i2+5i2，则1z1+z21=(C)A、3B、4C、5D、22解：12121,25,34,345zizizzii，选（C）。10、图4是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字构成规律，图中第八行所有○中应填数字的和等于（B）。A、96B、128，C、256，D、312解：0127777777(11)2128cccc，选（B）。11、在边长为10的正方形ABCD中，若按图5所示嵌入6个边长一样的小正方形，使得P，Q，M，N四个顶点落在大正方形的边上，则这六个小正方形的面积之和是（A）。A、322516B、3051C、3254D、3054解：设10,,,25xBQxPQaxaa，又设BPy，则有：2222102363613681616,,4,6322105525252525yxyxyaa，选（A）。12、在直角坐标系中，若直线y=kx与函数y=)3(82)33(2)3(42xxxxx的图像恰有3个不同的交点，则k的取值范围是（C）A、（-∞，0）B、（0,32）C、（32，2）D、（2,+∞）解：作图，2,28yyx，得交点(3,2)，y=kx过点(0,0)，12022,3033kk，与24,2yxy有交点，则2k，选（C）。13、一个四面体木块的体积是64立方厘米，若过聚在每个顶点的三条棱的中点作截面，沿所作的四个截面切下该四面体的4个“角”（小四面体），则剩余部分的体积是（D）.A、44立方厘米B、40立方厘米C、36立方厘米D、32立方厘米解：1643VSh大四面体底，1111164834288VShV小四面体底大四面体，44832V小四面体，余下体积是64-32=32，选（D）。14、甲盒中有200个螺杆，其中A型的有160个；乙盒中有240个螺母，其中A型的有180个，从甲乙两盒中各任取一个零件，能配成A型螺栓的概率为（C）。A、201B、1615C、53D、2019解：由同时取A型螺杆与螺栓，则所求概率为16018032002405p，选（C）。15、设双曲线2222byax＝1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别是F1,F2,若P是该双曲线右支上异于顶点的一点，则以线段PF2为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是（B）。A、外离B、外切C、相交D内切解：由图解法可得二个圆的位置关系是外切，选（B）。16、若f（x）=max[1x-21，x]，则函数f(x)的最小值等于（C）。A、0B、21C、1D、2解:代特殊值，13(0)2,(),(1)1,(2)222ffff，选（C）。17、1(1)limsinxxx＝（B）A、-B、-1C、0D、1解：11(1)limlim1sinxxxxcosx，选（B）。18、设函数g(x)在x＝0点某邻域内有定义，若0()limsinxxgxx＝1成立，则（D）。A、g(x)在x＝0点连续，但不可导B、g(x)在x=0点可导C、0limxg(x)存在，但g(x)在x=0点不连续D、x→0时，g(x)是x的高阶无穷小量解：0000()()()()limlim1lim1lim0sinxxxxxgxxgxgxgxxxxx，则x→0时，g(x)是x的高阶无穷小量，选（D）。19、设函数g(x)在[0,2]上连续，若在（0,2）内g(x)≥0,则对任意的x∈（0,2）有（A）。A、2)(xdttg≥2)(sinxdttgB、1)(xdttg≤2)(sinxdttgC、1)(xdttg≥1)(sinxdttgD、2)(xdttg≤2)(sinxdttg解：特值法，取(),()10,()gxxgxgsinxsinx，当0x时，xsinx，故2)(xdttg≥2)(sinxdttg，选（A）。20、若可导函数()fx满足2()()fxfx,且f(0)=-1,则在点x=0的三阶导数(0)f=(D)。A、-6B、-4C、4D、6解：2()()()2()()(0)2fxfxfxfxfxf，2()2()()2[()](0)426fxfxfxfxf，选（D）。21、若连续函数f(x)满足xduuxuf0)(＝-x+1n2，则10)(dxxf＝（A）。A、-21B、0C、21D、0解：令,0,0,xututxuxtdtdu，则：0000()()()()()2xxxxufxuduxtftdtxftdttftdtxln，二边对x求导，001()()()()2xxftdtxfxxfxftdtx，令1x，则101()2fxdx，选（A）。22、不恒为零的函数f(x)=xcxbxaxcxbxaxcxbxa332211322的零点个数是(B).A、没有零点B、至少有1个零点C、恰有2个零点D、恰有3个零点解：将行列式的第二、三行减第一行，其值不变，是x的一次多项式，则至少有1个零点，选（B）。23、已知A为3阶矩阵，TAAE（TA是A的转置矩阵，E是单位矩阵），若a11＝-1，b＝（100）7，则方程组AX＝b的解X＝（D）。A、（-110）TB、（-101）TC、（-1-10）TD、（-100）T解：由TAAE，则1TAA，取1111,010AXAb，选（D）。24、设向量a1=(120)7，a2=(231)7，a3=(01-1)7，若可由a1，a2，a3线性表示，则k＝（C）。A、-2B、-1C、1D、2解：13,,aa必线性相关，131200116510135aakkkk，选（C）。25、若矩阵B＝010100001，A是B的相似矩阵，则矩阵A+E（E是单位矩阵）的秩是（B）。A、0B、1C、2D、3解：210001(1)(1)0101BE是B的一个特征值，A是B的相似矩阵，1也是A的一个特征值，0AEBE,000011()()1011BErAErBE,选（B）。2009年GCT考试数学真题A卷答案01-10：CBABDCDACB11-20：ACDCBCBDAD21-25：ABDCB