2009年北京市东城区初三数学一模试题及答案

:..第1页共13页..:2009年北京市东城区中考数学一模试卷一、选择题(8个小题，每小题4分，共32分)下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．计算｜－2009｜的结果是()A．－2009B．20091C．2009D．200912．函数2xy的自变量x的取值范围是()A．x≠－2B．x≥－2C．x＞－2D．x＜－23．我国2008年国内生产总值超过300000亿元，比上一年增长9％．将数据300000亿元用科学记数法表示为()A．3×105亿元B．30×104亿元C．0.3×106亿元D．3×104亿元4．下列运算正确的是()A．a2＋a4＝a6B．a2·a4＝a6C．(a4)2＝a6D．a6÷a2＝a35．若一个正n边形的一个外角为36°，则n等于A．4B．6C．8D．106．如图，点O在⊙A外，点P在线段OA上运动．以OP为半径的(⊙O与⊙A的位置关系不可能．．．是下列中的()第6题图A．外离B．相交C．外切D．内含7．在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，除了需要了解自己的成绩外，还需要了解全部成绩的()A．平均数B．众数C．中位数D．方差8．在正方体的表面上画有如图①中所示的粗线，图②是其展开图的示意图，但只在A面上画有粗线，那么将图①中剩余两个面中的粗线画入图②中，画法正确的是()第8题图二、填空题(4个小题，每小题4分，共16分)9．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3＝________．第9题图第11题图:..第2页共13页..:10．在实数范围内分解因式：x2y－6xy＋9y＝________．11．如图，AB、CD是水平放置的轮盘(俯视图)上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为________．12．按一定规律排列的一列数依次为：21，31，101，151，261，351…，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________．三、解答题(5个小题，每小题5分，共25分)13．计算：020092)2π()1(30sin421．14．解不等式组.65)3(2,134xxxx15．解方程：121xxx．16．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，DF交AC于点E，DE＝EF．求证：E是AC的中点．第16题图17．已知：x－2y＝0，求)(2222yxyxyxyx的值．:..第3页共13页..:四、解答题(2个小题，每小题5分，共10分)18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠D＝120°，CD＝43cm，求AB的长．第18题图19．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．如图是某校全校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为350人，表(1)是该校学生阅读课外书籍情况统计表．请你根据图表中的信息，解答下列问题：(1)求该校九年级的人数占全校总人数的百分率．(2)求出表(1)中A、B的值．(3)该校学生平均每人读多少本课外书?第19题图图书种类频数频率科普常识B0.2名人传记5000.25漫画丛书800A其他3000.15:..第4页共13页..:五、解答题(3个小题，每小题5分，共15分)20．某商场用36万元购进A，B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：AB进价(元／件)12001000售价(元／件)13801200(注：获利＝售价－进价)求该商场购进A，B两种商品各多少件．21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连结PC，交AD于点E．(1)求证：AD是圆O的切线；(2)若PC是圆O的切线，BC＝8，求DE的长．第21题图:..第5页共13页..:22．如图，反比例函数xy8的图象过矩形OABC的顶点B，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∶OC＝2∶1．(1)设矩形OABC的对角线交于点E，求出E点的坐标；(2)若直线y＝2x＋m平分矩形OABC面积，求m的值．第22题图六、解答题(3个小题，共22分)23．(本题满分7分)已知：关于x的一元二次方程x2－2(2m－3)x＋4m2－14m＋8＝0．(1)若m＞0，求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．:..第6页共13页..:24．(本题满分7分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(－1，0)，如图所示，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B．(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图:..第7页共13页..:25．(本题满分8分)请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图①，若弦AB、CD交于点P则PA·PB＝PC·PD．请你根据以上材料，解决下列问题．已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP＝1，过点P任作一弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．(如图②)(1)若AC恰经过圆心O，请你在图③中画出符合题意的图形，并计算：PRPQ11的值；(2)若OP⊥AC，请你在图④中画出符合题意的图形，并计算：PRPQ11的值；(3)若AC是过点P的任一弦(图②)，请你结合(1)(2)的结论，猜想：PRPQ11的值，并给出证明．①②第25题图:..第8页共13页..:2009年北京市东城区中考数学一模试卷答案一、选择题1.C2．B3．A4．B5．D6．D7．C8．A二、填空题9．20°10．y(x－3)211．4112．821三、解答题13．原式＝4－2－1＋1＝214．解：②①,65)3(2,134xxxx解不等式①得x＜－1解不等式②得x≥－4∴原不等式组的解集为－4≤x＜－1．15．解：方程两边都乘以x(x－1)，得x2＋2(x－1)＝x(x－1)，解这个方程，得x＝32．经检验，x＝32是原方程的根．∴原方程的根是x＝32．16．证明：∵FC∥AB，∴∠ADF＝∠F．又∵∠AED＝∠CEF，DE＝EF，∴△ADE≌△CEF(SAS)．∴AE＝CE．即E是AC的中点．17．解：)(2222yxyxyxyx)()(22yxyxyxyxyx2.∵x＝2y，∴原式3535yy．四、解答题18．解：过点A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点E、F．∴∠AEB＝∠DFC＝90°．∵AD∥BC，∠D＝120°，:..第9页共13页..:∴∠C＝60°在Rt△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝60°，CD＝43．6233460sinCDDF．易证：四边形AEFD为矩形．∴AE＝DF＝6．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠B＝45°，cm262/2645sinAEAB．第18题答图19．解：(1)1－25％－35％＝40％(2)A＝1－0.2－0.25－0.15＝0.4500÷0.25＝2000B＝2000－500－800－300＝400∴A的值为0.4，B的值400(3)350÷35％＝10002000÷1000＝2∴该校学生平均每人读2本课外书．五、解答题20．解：(1)设购进A种商品x件，B种商品y件．根据题意，得,60000)10001200()12001380(,36000010001200yxyx化简，得,3000109,180056yxyx解得.120,200yx答：该商场购进A，B两种商品分别为200件和120件．21．(1)证明：∵AB＝AC，点D是边BC的中点，∴AD⊥BD．又∵BD是圆O直径，∴AD是圆O的切线．(2)解：连结OP，由BC＝8，得CD＝4，OC＝6，OP＝2．∵PC是圆O的切线，O为圆心，∴∠OPC＝90°．由勾股定理，得PC＝42．在△OPC中，42242tanPCOPOCP．:..第10页共13页..:在△DEC中，∵42tanDCDEDCE，2424tanDCEDCDE．第21题答图22．解：(1)由题意，设B(2a，a)(a≠0)，则a＝a28,∴a＝±2．∵B在第一象限，∴a＝2，B(4，2)，∴矩形OABC对角线的交点E为(2，1)．(2)∵直线y＝2x＋m平分矩形OABC必过点(2，1)，∴1＝2×2＋m．∴m＝－3．第22题答图六、解答题23．(1)证明：Δ＝[－2(2m－3)]2－4(4m2－14m＋8)＝8m＋4．∵m＞0，∴8m＋4＞0．∴方程有两个不相等的实数根．(2)12)32(248)32(2mmmmx．∵方程有两个整数根，必须使12m为整数且m为整数．又∵12＜m＜40，∴25＜2m＋1＜81．9125m．令612m，235m．令712m，24m．令812m，263m．∴m＝2424．解：(1)过点B作BD⊥x，垂足为D，∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠CAO．又∵∠BDC＝∠COA＝90°；CB＝AC，∴△BCD≌△CAO，∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，∴点B的坐标为(－3，1)．(2)抛物线y＝ax2＋ax－2经过点B(－3，1)，第24题答图则得到1＝9a－3a－2，:..第11页共13页..:解得21a，∴抛物线解析式为221212xxy．(3)方法一：①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则可以设直线BC交抛物线21212xxxy于点P1，由题意，直线BC的解析式为：2121xy，,22121,21212xxyxy解得,1,311yx(舍).1,122yx∴P1(1，－1)．过点P1作P1M⊥x轴于点M，在Rt△P1MC中，52211MCMPCP∴CP1＝AC．∴△ACP1为等腰直角三角形．②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AF∥BC，交抛物线221212xxy于点P2，由题意，直线AF的解析式为221xy，,2121,2212xxxyxy解得,4,411yx(舍).1,222yx∴P2(2，1)．过点P2作P2N⊥y轴于点N，在Rt△AP2N中，52222ANNPAP，∴AP2＝AC，∴△ACP2为等腰直角三角形．综上所述，在抛物线上存在点P1(1，－1)P2(2，1)，使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形．方法二：①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1，使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形△ACP1，过点P1作P1M⊥x轴．∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM＝CD＝2，∴P1M＝BD＝1，可求得点P1(1，－1)；经检验点P1(1，－1)在抛物线221212xxy上，使得△ACP1是等腰直角三角形．:..第12页共13页..:②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形△ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1，可求得点P2(2，1)，经检验点P2(2，1)也在抛物线221212xxy上，使得△ACP2也是等腰直角三角形．25．解：(1)AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，如图①所示，第25题答图∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C，∴Q与A