运筹学 线性规划应用案例

某人有一笔50万元的资金可用于长期投资,可供选择的投资机会包括购买国库券、公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等。不同的投资方式的具体参数如下表。投资者希望投资组合的平均年限不超过5年，平均的期望收益率不低于13%，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10%。问在满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？投资组合序号投资方式投资期限（年）年收益率%风险系数增长潜力%1国库券311102公司债券10153153房地产6258304股票2206205短期存款110156长期储蓄5122107现金存款0300解：设xi为第I种投资方式在总投资额中的比例，则模型如下：MaxS=11x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x7s.t.3x1+10x2+6x3+2x4+x5+5x6511x1+15x2+25x3+20x4+10x5+12x6+3x713x1+3x2+8x3+6x4+x5+2x6415x2+30x3+20x4+5x5+10x610x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=1x1,x2,x3,x4,x5,x6,x70模型的目标函数反映的是平均收益率最大，前四个约束分别是对投资年限、平均收益率、风险系数和增长潜力的限制。最后一个约束是全部投资比例的总和必须等于1.最优解：X1=0.57143X3=0.42857平均年收益率=17%即：投资国库券=0.57143*50=29万元投资房地产=0.42857*50=21万元投资年限=4.28571年平均年收益率=17%风险系数=4增长潜力=12.8571%电网规划问题-线性潮流估计模型•模型所需数据：•现有电力网络结构，包括走向、长度、输送容量的限制；•可能的电力网络建设路径，即哪些节点间允许架设新线路，包括新增的电源和负荷节点；•规划水平年各电源点发电能力及各负荷点负荷水平；•现有线路年平均损耗系数，新建线路投资效益系数加损耗系数等经济指标。规划变量-原有及新建线路输电功率目标函数-以全网年计算费用最小•公式中：n——网络节点总数；•P0ij、P0ji——现有线路输电功率（MW）；•Pij、Pji——新建线路输电功率（MW）；•lij、lij′——原有及新建线路长度（km）；•Lij—原有线路的损耗系数(万元/MW.km.年)；•Gij——新建线路的投资乘以效益系数再加损耗系数(万元/MW.km.年)。11i1'00])()([minZnnijijjiijijijjiijijlPPGlPPL约束条件-节点功率平衡•公式中：Ai——电源点i的发电功率；•Dk——负荷点k的负荷功率；•n1——电源点数；n2——负荷点数。12n1in1kkin1jjkkj0jk0kjkn1jjiij0ji0ijiDA)PPPP(D)PPPP(A•P0ij+P0jiMijMij—线路ij的通过能力。•其他约束•P0ij、P0ji、Pij、Pji0，P0ij×P0ji=0，Pij×Pji=0•如果解出最优分配Pij=Pji=0，则说明ij线路不必架设。约束条件-线路通过能力的限制例:规划目的是寻找节点6新电厂接入系统最优方案。节点发电容量（MW）负荷（MW）150802-2403165404-1605-2406545(新电厂)0电网规划问题-直流潮流法模型•模型所需数据：•规划水平年电源位置、容量及出力；•规划水平年负荷及其分布；•现有电力网结构，主干线走向、长度、电压等级及电抗值；•可能修建新线的上列参数及投资；•各线路在正常运行条件下及系统“N-1”事故状态下的输送容量限制值。•在上列条件下，该法首先求出正常运行下输电网络需要架设的线路路径和回路数，然后进行“N-1”的安全检验，求出“N-1”事故情况下需要增加的线路。•目标函数：MinZ=CTBl•约束条件：|l0+ATSBl|l*•Bl0•其中：C——各支路增加单位电纳投资；•l0——各支路原始相角差；l*——各支路允许相角差；Bl——各支路电纳增量；例规划目的是寻找节点6新电厂在正常运行及“N-1”事故状态下接入系统的最优方案。节点发电容量（MW）负荷（MW）150802-2403165404-1605-2406545(新电厂)0发电机组燃料优化管理模型•在当前电煤供应不足的情况下，难于购买到完全符合锅炉燃烧特性的煤种，煤质的变化会改变电厂发电成本的变化，而其中大部分为燃料成本的变化。发电厂面临煤种的选择问题，选择哪种煤炭？其比例多少？才能最大限度地降低发电成本，提高经济效益。•每台发电机组都有它当初的设计煤种，对燃料的硫份、水份、灰份、热值、挥发份和可磨系数都有一定的要求。在传统的锅炉燃烧中，经常用的是单煤燃烧，这在计划经济时代不存在大的问题。随着改革的深入，煤炭价格的市场化，电煤价格持续上升，电煤成为稀缺资源，劣质煤炭充斥市场，要购买到完全符合锅炉燃烧条件的煤种已变得十分困难。利用多种煤混合出满足锅炉燃烧需要的煤种，是一种非常有效的方法。以配煤最低成本为目标函数，以单煤的成本，煤质参数和锅炉的燃烧品质参数的临界值为约束条件，构造线性规划模型如下：式中：aij——第j种煤第i个指标•Xj——第j种煤相对于锅炉设计煤种消耗量的比例%•bi,Bi—混煤第j种性能指标的限定值•n——煤的性能指标的个数，包括硫份、水份、灰份、热值、挥发份等•m—单煤的种类数量•Smin—混煤的最低成本•Cj—单煤的最低成本计算实例：某电厂200MW机组燃煤煤质要求机组热值水份挥发份灰份200MW=20423J/kg7.17%20%42%200MW机组优化配煤、选煤计算表煤(071)煤(158)煤(180)煤(295)煤(309)配煤指标要求热值167492564822422253402284320423=20423水份5.57.96.86.875.87677.17挥发份35.4732.4233.8117.9130.162020灰份44.8513.3227.8720.9625.9213.818842.6价格100.11153.69125.57142.65134.92运费100.7539.2166.0645.583.45总费用213.87212.88207.95206.69235.91168.017168.017配煤比00.389400.411800.80120.80123结果分析•在以上煤种和费用条件下，应选择158号煤和295号煤进行混合配煤，其比例为：0.3894:0.4118，这样配煤的要求，符合锅炉燃烧的各项指标要求，且在获得相同的热值条件下，有最优的经济性（费用最低）168.017。结果分析•配煤比之和0.80123（0.3894+0.4118）含义：该配煤的消耗量为该锅炉设计煤种消耗量的倍率系数，设计煤种消耗量为131.4t/h，由于配煤的热值高于设计煤种，所以配煤的消耗量为0.80123×131.4=105.28t/h。发电机组收费比率•责成若干发电站全天满足下面的电力负荷要求：•午夜12点至上午6点15000MW•上午6点至上午9点30000MW•上午9点至下午3点25000MW•下午3点至下午6点40000MW•下午6点至午夜12点27000MW。•有三类发电设备可供使用：1类12台，2类10台，3类5台。每台发电机必须在最低功率级和最高功率级之间运行，运行在最低功率级的每台发电机每小时有一项费用。此外，若一台发电机工作超过此项最低功率级，每小时每兆瓦要附加一项额外费用。启动发电机也需要费用。另外，为了满足预测的负载需要量，在任何时间必须有足够发电机在工作，使用可能满足负载增长15%的需要。这种增长必须通过调节在其容许范围内运转的一些发电机的输出来实现。最低功率级(MW)最高功率级(MW)最低功率级的每小时费用(元)超过最低功率级的每兆瓦小时费用(元)启动费用(元)类型18502000100022000类型21250175026001.31000类型31500400030003500现问：•全天各周期应有多少台发电机工作，才能使总费用最低？•全天各周期电力生产的边际成本是多少？就是说，各周期应收多少费？•降低15%后备输出能保证节约多少金额？即这种供电的保障措施要花费多少钱？谢谢大家！