10第十讲空间解析几何

泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学授课对象授课题目第十讲空间解析几何中的问题课时数2教学目的通过教学让学生掌握向量的基本概念，向量的数量积，向量的向量积，平面及其方程，直线及其方程，常用二次曲面的方程及其图形，常用二次曲面的方程及其图形重点难点重点：向量的数量积，向量的向量积，平面方程，直线方程难点：常用二次曲线、二次曲面的方程及其图形.教学提纲第十讲空间解析几何中的问题一、向量的基本概念二、两向量的数量积三、两向量的向量积四、平面及其方程五、直线及其方程六、常用二次曲面的方程及其图形七、常用二次曲面的方程及其图形教学过程与内容教学后记第十讲空间解析几何中的问题一、向量的基本概念（１）坐标系（２）两点间的距离公式（３）向量的坐标表示},,{zyxkzjyixAB（４）向量的长度222||zyxAB向量的单位化（５）向量的方向方向余弦方向角二、两向量的数量积（１）),cos(||||bababa（２）zzyyxxbabababa.||)3(2aaa0)4(baba||||),cos()5(bababa（６）：0baba0zzyyxxbababa三、两向量的向量积（１）设a、b为向量，作向量baR＝使得：),sin(||||||)1babaRR)2垂直于ba所确定的平面，指向按右手法则（２）)()(kbjbibkajaiabazyxzyxxyzxyzijkaaabbb（３）应用１）利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量；２）zzyyxbababxa0bab//a四、平面及其方程（１）已知平面过点M0（x0、y0、z0），CB,A,n为的法矢量。1）点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0；2）一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全为零；（２）平面间的位置关系1）两平面垂直：1π⊥2π1n⊥2n；2）两平面平行：1π∥2π1n∥2n。3）平面间的夹角（常指锐角）：121212222222111222cosAABBCCABCABC。（３）点到平面的距离点M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为000222AxByCzDdABC五、直线及其方程（１）空间直线的对称式方程和点向式方程pzznyymxx000（=t）当m=0时，则方程的点向式记为：000xxpzznyy（２）直线的一般方程为22221111DzCyBxADzCyBxA（３）两直线的夹角（4)直线与平面的夹角六、常用二次曲面的方程及其图形1、球面：2202020Rzzyyxx2222Rzyx2、椭球面1czbyax2222223、旋转曲面设L是x0z平面上一条曲线，L绕z旋转一周所得旋转曲面：0z,yxf2202220220zz,yxzzyxx0zx,fzzyxx0220代入方程得0z,yxf22例例：2222yxaz,yxz称为旋转抛物面旋转双曲面：1czayx22222，(单)22222czayxz4、椭圆抛物面0babyaxz22，5、单叶双曲面1czbyax2222226、双叶双曲面1czbyax2222227、二次锥面0czbyax222222圆锥面222yxz物柱面0aaxy2（8）柱面0),(yxf0y0zx,f七、常用二次曲面的方程及其图形（1）空间曲线C可看作空间两曲面的交线.0),,(0),,(zyxGzyxF(2)空间曲线的参数方程)()()(tzztyytxx(3)空间曲线在坐标面上的投影0),,(0),,(zyxGzyxF消去ｚ的方程0),(yxH曲线关于xoy面投影柱面曲线关于xoy面投影为00),(ZyxH例１：已知曲线22220:35xyzCxyz，求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.【分析】曲线上一点),,(zyx到XOY面的距离为z，但把目标函数设为zyzxf),(，不便于计算，因而常把目标函数设为2),(zyzxf，把两个方程看成约束条件使用拉格朗人数乘法求解即可。【解】)53()2(222212zyxzyxzL053020342020222221212121zyxLzyxLzzzLyyLxxL由前两个方程知yx，代入后两个方程知求的解)5,5,5(),1,1,1(最远的点)5,5,5(和最近的点)1,1,1(.例２：椭球面1S是椭圆22143xy绕X轴旋转而成，圆锥面2S是由过点（4,0）且与椭圆22143xy相切的直线绕X轴旋转而成。（Ⅰ）求1S和2S的方程；（Ⅱ）求1S和2S之间的立体体积。【分析】设L是xoy平面上一条曲线0),(yxf，L绕x旋转一周所得旋转曲面为0),(22zyxf【解】:1S134222zyx设过点（4,0）与椭圆相切的直线方程为aaxy4设切点为),(00yx，则4430000xyayxdxdy，又12430202yx得)23,1(),(00＝yx，上方切线为221xy2222221:xzySdxxV2122)433(32331例３：设P为椭球面S:1222yzzyx的动点，若S在P处的切平面与xoy面垂直。（１）求点Ｐ的轨迹Ｃ；（２）计算dSyzzyzyxI442)3(22，其中为椭球面位于Ｃ上方的部分。