111经济数学方法与模型备考

一简述题（10’）二模型求解题（70’）1、已知生产函数为Q=f(K,L)=KL-0.5L2-0.32K2，Q表示产量，K表示资本，L表示劳动，令上式的K=10。(1)计算当总量达到极大值时厂商雇佣的劳动是多少？(2)当劳动的平均产量APPL达到极大值时，劳动的边际产量MPPL是多少？解：(1)将k=10代入Q=KL-0.5L2-0.32K2得生产函数为：Q=10L-0.5L2-32要使总量Q达到极大值即令0dLdQ，即：10-L=0所以，L=10。即当总量达到极大值时厂商雇佣的劳动是10。(2)劳动的平均产量L32-L5.0-10劳动总产量LAPP要使LAPP达到极大值，即0)(dLAPPdL，得到：0325.02L解得，L=8（负根舍去）所以，边际产量281010LMPPL2存储问题某建筑公司每天需要某种标号的水泥100吨，设该公司每次向水泥厂订购，需支付订购费100元，每吨水泥在该公司内存放一天需支付0.08元的存储保管费，若不允许缺货，且一订货就可提货，试问，（1）每批订购多长时间，每次订购多少吨水泥，费用最省，其最小费用是多少？（2）从订购之日到水泥入库需7天时间，试问当库存为多少时应发出订货？解：（1）设每T天订购一次，每次订购Q吨水泥据题意：每天水泥需求量r=100吨，每次订购费1001c元，每天每件存储保管费08.02c元。将离散问题连续化，可得一周期存储保管费为：AcdttqcT202)(一周期总费用：C=1c+TQc22，其中Q=rT所以，每天总费用平均值（目标函数）C(T)=221rTcTc0)(TTdC，解得，212rccT和212crcQ代入数据解得：T=5，Q=500（2）设当库存为CQ时，应发出订货。由于入库时间订购周期，故当库存为CQ时，订的货供未来第二个周期使用。所以，有7TrQC解得200QC3、某学校有三个系共200名学生，甲系100人，乙系60人，丙系40人，现同学选学生代表参加会议。问(1)由于转系的原因，三系的人数为103、63、34，问有20席位应如何分配席位？(2)在上述转系情况下，若席位增加1席，又如何分配？解：“公平”分配方法讨论：现假设有Ａ、B两方已知总人数1p2p和分得的席位1n2n当p1/n1=p2/n2时，分配公平若p1/n1p2/n2，对A不公平。为了度量对A的不公平度，定义：对A的相对不公平度：22221121///),(npnpnpnnrA现研究在已部分分配的基础上如何再分配1个名额。1）若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给A2）若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给B根据r的定义，rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1)可以变形为：)1()1(11212222nnpnnp，该席给A考虑到上式两边形式完全相同，不妨令：2,1,)1(2innpQiiii故可得到结论：该席应该给Q值较大的一方问题解答：按人数比例的整数部分分配前19席。甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席：4.961Q，5.942Q，3.963Q，Q1最大，第20席给甲系第21席：4.801Q，5.942Q，3.963Q，Q3最大，第21席给丙系Q值方法分配结果：甲系11席，乙系6席，丙系4席。4、饲料场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克的生猪体重增加2公斤。(1)市场价格目前每千克8元，但是预测每天会降0.1元，问生猪应何时出售？(2)若生猪的价格每天降低量增加1%，出售时间应提前比例是多少，为什么？解：5、一家餐厅24小时营业，在各时间中所需要的服务员数量分配为2:00---6:003人6:00---10:009人10:00---14:0012人14:00---18:005人18:00---22:0018人22:00---2:004人设服务员在各时间段的开始时点上班并连续工作8小时，问该餐厅至少分配多少人才能满足各个时间段对人员的需要？试够造此问题的数学模型。(不求解)解：i(1~6)表示第i个时段，im表示第i个阶段至少所需服务员数，in表示第i阶段开始上班的服务生数所以，本问题可以描述为求各个阶段开始上班的服务生数总和最少，即61iinMin约束条件：将一天六个阶段循环考虑（即第6阶段的下个阶段为第1个阶段），由于连续工作8个小时，即连续工作两个阶段。可得：第i阶段至少所需服务员数=第i阶段开始上班服务生数+第i-1阶段开始上班服务生数数学表达为：1iiinnm综上，可得数学模型：61iinMin61i0..1，，且为整数iiiinnnmts6利民服装厂生产男式童装和女式童装，产品的销量很好，但有三种工序即裁剪，缝纫和检验限制了生产的发展，已知制作一件童装需要这三道工序的工时数，预计下个月内各个工序拥有的工时数以及每件童装所提供的利润如下表所示：男式童装女式童装下个月生产能力/小时裁剪13/2900缝纫1/21/3300检验1/81/4100利润58该厂生产经理希望知道下个月内使利润最大的生产计划，试建立这一问题的数学模型。解：设下个月生产男式童装和女式童装的数量分别为1x、2x时利润最大，可如下线性规划模型：2185maxxxz且为整数0,100418130031219002321212121xxxxxxxx7、某公司每年以每单位10元的价格购买18000单位的货物，每次订购费为30元，每年每单位的货物保持费为3元，求经济订货批量？全年费用？每年定货次数？如果供应商规定每次定货500单位以下时为10元/单位，500单位以上时为9元/单位，每次订货费为30元，保持费为单位费用的30%，求经济定货批量？解：设经济订货批量为Q，每年订货次数为n，解：已知：年订货量D=6000平均一次订货准备所发生成本：C=125每件存货的年储存成本：H=6代入公式可得：Q=Squat(2x6000x125/6)＝500所以该产品的最佳经济订购批量为：500个单位产品。经济订购批量＝Squat(2*年订货量*平均一次订货准备所发生成本/每件存货的年储存成本)因此，经济批量=(2*18000*30/3)开方即为经济批量，即600（单位）全年费用=18000/600*30+600/2*3+18000*10=181800元（含订购费），不含的话就是1800.如果有折旧，需要比较。三综合题（20’）