11年电动力学第01讲

电动力学第一讲矢量分析(1)本讲目的使学生了解本课程，建立学好本课程的动力和信念，掌握基本坐标系知识和矢量的概念。讲课提要内容(1)课程介绍：自我介绍、性质、基础、教材和参考材料；约5’(2)矢量分析之坐标系：三种坐标系的概念、应用方法和相互关系；约40’(3)矢量分析之矢量基础：基本概念、运算和坐标系表示方法。约45’重点坐标系和矢量的坐标表示；掌握内容矢量的直角坐标系表示方法；了解课程的重要性、圆柱坐标系、球坐标系难点坐标系之间的变换关系、矢量的不同坐标系表示课堂教学方法PPT、板书和交流第零章绪论一、课程性质和任务课程性质：电子信息科学类专业本科生必修的一门专业基础课。合格本科生所应具备的知识结构的重要组成部分。内容涉及静态场、时变场、平面电磁波、导波、传输线理论、辐射。课程的意义：(1)具有普遍意义的科学和工程问题的研究和解决方法；(2)广泛社会应用的科学理论基础；(3)奠定个人在电子信息技术专业领域发展的良好基础。这里以学习相关课程的三个问题来理解：例1：传播速度问题：光速和电流：一般金属导体内具有电子密度为233~10cmn，对于1A/mm2的电流密度，6210AmJ，电子电荷19~1.610Ce，我们发现对应的电子移动速度51~610msv。例2：信号的时谐因子：jte例3：物理光学、光纤光学的科学理论基础学习要求：掌握基本的宏观电磁理论，具备分析和解决基本的电磁场工程问题的能力。先修基础：《大学物理(电磁学)》、《高等数学》、《数理方程和特殊函数》二、历史回顾1820年以前定性观察电现象、磁现象电磁场理论发展中的重大事件：库仑定律(电荷相互作用力规律)1820：电流磁效应(奥斯特)、安培力定律(安培)1831：电磁感应(法拉第)1864：位移电流假说，麦克斯韦方程组(麦克斯韦方程)1888：试验证明电磁波存在(赫兹)电磁波技术：发射、传输、接收和应用技术。三、工程应用概论各种电子信息系统通信、雷达、广播、电视；导航、遥控遥测电磁环境环境污染——电磁污染、电磁兼容生物电磁学四、结构体系五、学习方法基本物理规律的理解、掌握基本物理方程的推导和求解方法分析和处理问题的方法——数学处理过程电磁场与电磁波静态场静电场静磁场基本原理和方法(第二章)静电场分析(第三章)静电场边值问题(第四章)基本原理和方法(第二章)静磁场分析(第五章)时变场时变场基本性质(第六章)无界空间中的电磁波(第七章)有界空间中的电磁波(第八章)第一篇基础知识篇第一章数学问题第一章矢量分析(1)1.1常用坐标系至今我们已经十分熟悉坐标系了。在我们处理的多数物理问题中经常用到直角坐标系。可惜的是物理问题往往十分复杂，许多问题的处理中，直角坐标系并不是最理想的选择，往往可以根据具体问题的内在约束条件或对称性选用其他坐标系，以便使问题更容易得到解决。通常取相互正交的曲面作为坐标面，并取它们相交的相互正交的曲线构成坐标轴，从而构成所谓的曲线坐标系1。坐标系的建立有一整套关于坐标系的理论描述，由于不属于本课程研究的领域，这里仅简要阐述电磁场研究和应用中常用的三种坐标系的要点及其在微积分中的微分元表示。1.1.1直角坐标系该坐标系也称笛卡尔坐标系。其坐标面有相互垂直的三个平面构成，由三个平面的相交的三条直线构成坐标轴。常称为x、y、z轴。它们的交点称为坐标原点。如图1.1所示。xyzOP(x0,y0,z0)x0y0z0rˆxeˆyeˆze图1.1直角坐标系及其要素。图中绘出了坐标原点O和x、y、z三个坐标轴及它们的方向。坐标轴的选取满足右手螺旋规则，这是常用的右手坐标系。其坐1曹富田译，[美]阿弗肯著，《矢量、张量与矩阵》，计量出版社，1986年第一版。标平分别为xOy、yOz和zOx平面。图中绘出了空间中的一点P(x0,y0,z0)，括号内是P点对应的坐标值，可见它们是坐标原点到P点线段在对应坐标轴上的投影，相对坐标原点的方向隐含在它们的正负符号中。这样空间任意一点和一组(x,y,z)构成了一一对应关系，也就是说空间一点由一组这样的坐标值惟一确定，而且在整个无穷空间中坐标值的取值范围是(-∞,+∞)。在微积分中，坐标值的微分元分别为dx、dy、dz。而曲线l的线元为222dldrdxdydz沿坐标面的面元分别为xoydSdxdyyozdSdydzzoxdSdzdx空间一点的邻域内的体元可表示为dVdxdydz问题一、坐标值的确定方法？1.1.2圆柱坐标系构成这一坐标系的三种坐标面分别是：(1)具有以ｚ轴为共同轴的直圆柱面，用该面的半径表示就是2212()xy常量；(2)通过ｚ轴的半平面，它和xOz平面在x周正向的夹角arctanyx常量，该夹角由x轴正向向该半平面计量；(3)和笛卡尔坐标系一样平行于xOy面的平面，z常量表示的平面。图1.2绘出了这个坐标系。xyzOP(0,0,z0)00z0ˆreˆeˆze图1.2圆柱坐标系的构成。由图中可以看出，用这三个坐标面也可以惟一确定空间中的一点P，相应的坐标为(0,0,z0)，这就是空间点的圆柱坐标。若以P点和原点构成的线段看这三个坐标，发现该线段在xOy面投影、这个投影与x轴正向的夹角、该线段在z轴上的投影是依次对应的，它们在无穷空间中的取值范围依次是(0,+∞)、(0，2)(-∞,+∞)。在微积分中，坐标值的微分元分别为d、d、dz。而曲线l的线元为22dldrddz沿坐标面的面元分别为xoydSdddSddzyozdSddz空间一点的邻域内的体元可表示为dVdddz1.1.3球坐标系构成球坐标系的坐标面族是：(1)以原点为中心的同心球面，用其半径222rxyz常量表示；(2)以z轴为中心轴，以原点为顶点的直圆锥，它用圆锥顶角的半值222arccoszxyz常量表示出来；(3)通过z轴的半平面，情况和圆柱坐标中一样，数学表达式为arctanyx常量。该坐标系如图1.3所示。yOzxP(r0,θ00)0θ0r0ˆerˆeˆe图1.3球坐标系示意图。和前两种坐标系一样，用这三个坐标面也可以惟一确定空间中的一点P，相应的坐标为(r0,0,0)，这就是空间点的球坐标。若以P点和原点构成的线段看这三个坐标，发现该线段本身、该线段在xOy面投影与x轴正向的夹角、该线段与z轴正向的夹角和它们依次对应，它们在无穷空间中的取值范围依次是(0,+∞)、(0,)(0,2)。在微积分中，坐标值的微分元分别为dr、d、d。而曲线l的线元为dldr沿坐标面的面元分别为sinsindSrddrrdrd2rdSrdddSrddr空间一点的邻域内的体元可表示为2sindVrdrdd1.1.4不同坐标系之间的相互关系和变换根据上述的讨论，可以给出圆柱坐标系、球坐标系和直角坐标系之间关系的数学表达式。若以同一点为它们的原点，根据投影关系可以得到：以直角坐标系为准构成的圆柱坐标系与直角坐标系间坐标变换关系为cossinxyzz而构成的球面坐标系与直角坐标系间坐标的变换关系为sincossinsincosxyrzrr1.2矢量分析基础正如我们熟知，物理量可以分为两类，其他科学或工程遇到的量也是如此。一类是只有大小的量，也就是说对于我们阐述的参量来说，只要给定其量值大小就可以确定其描述的现象，比如质量、温度、时间等等。另一类不仅需要知道大小，还需要确定其方向才能用其描述完整的物理现象，如位移、速度、加速度、作用力、动量、角动量等等。前者称作标量。后者称为矢量。1.2.1矢量的基本定义与表示方法(1)矢量的基本定义：既有大小也有方向的量称为矢量。单位矢量：大小为一的矢量是单位矢量。(2)矢量的表示方式图示法：用具有与大小成正比长度的一根箭头线表示，线段起点到箭头(终点)的指向是矢量的方向，线段的长度表示矢量大小。如图1.4所示。图1.4矢量的图形表示。符号表示：印刷体通常用黑体表示如A。手写体则往往用字符上面加箭号表示。如A。单位矢量用相应的小写黑体字母(印刷体，如a)或加箭帽的小写字母表示(手写体，如)。ˆa数学表示：用适量的大小和方向相乘表示出来，大小用绝对值符号或数字表示(模)，方向用单位时表示。如ˆAAa矢量的相等：大小相等，方向相同的矢量相等。思考：坐标系中有单位矢量吗？1.2.2矢量运算(1)加减法加减运算的符合平行四边形法则。两矢量头尾连接后，从第一起始位置指向第二矢量末尾的矢量就是两者之和。如图1.5所示。CAB也可以看出两者之差为：DABA图1.5矢量的和、差。容易得到，一个矢量可以表示为它所在直角坐标中各坐标轴上有向投影之和。(2)乘法——点乘和叉乘如图1.6，矢量A和B的夹角为，则图1.6矢量A和B的相乘。两者的点积(标量积、内积)由下式定义：cosABAB显然两个矢量的点积是其中一个矢量在另一个矢量上的投影。两者的叉积(矢量积、外积)表示为CAB，其大小为sinCABAθBCsinBcosBABCD方向是由A的方向到B的方向的右手规则确定的方向。其物理意义是叉积的大小为两矢量首尾相连与前一矢量起始点和后一矢量终点连线构成的三角形的面积。由两者的定义可以看出：若两个矢量方向平行，则两者的点积的模值最大，为两者大小的乘积，同向为正值，方向为负值，而两者叉积的大小为零；若两个矢量垂直，则两者的点积为零，叉积的模取得最大值。1.2.3位置矢量由坐标原点指向指定空间点的矢量，称为该点的位置矢量。其大小为原点到空间点的线段长度。图1.1所示的P点位置矢量为r。在坐标系中坐标都是有方向的。不同坐标系的单位矢不同，所以位置矢量用不同坐标系单位矢的表示也有区别。直角坐标系的单位矢为ˆˆˆ,,xyzeee，所以其中的位置矢量为000ˆˆˆxyzrxeyeze；对于圆柱坐标系，单位矢为ˆˆˆ,,zeee，其中的位置矢量为00ˆˆrzreze;球面坐标系的单位矢为,ˆˆˆ,reee，位置矢量为0ˆrrre。1.2.4坐标系中的矢量表示方法和应用(1)任意位置的矢量表示：由于矢量可以用其在坐标轴上的投影之和表示出来只要给定坐标系，就可用数学表达式直接写出来。直角坐标系中ˆˆˆ()()()()xxyyzzArAreAreAre圆柱坐标系中ˆˆˆ()()()()xzzArAreAreAre球坐标系中ˆˆˆ()()()()rrArAreAreAre(2)坐标系的单位矢量、矢量在具体坐标系中的表示方法和运算依据三种坐标系的空间关系，利用一种坐标系单位矢量在另一坐标系的位置关系，可以确定如下两组关系：圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系ˆˆˆcossinˆˆˆsincosˆˆxyxyzzeeeeeeee球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系ˆˆˆˆsincossinsincosˆˆˆˆcoscoscossinsinˆˆˆsincosrxyzxyzxyeeeeeeeeeee坐标表示矢量的运算222ˆˆˆˆˆˆ;ˆˆˆ()()()ˆˆˆxxyyzzxxyyzzxyzxxxyyyzzzxxyyzzxyzxyzxyzAAeAeAeBBeBeBeAAAAABABeABeABeABABABABeeeABAAABBB作业和思考题：利用矢量和证明余弦定理。1.11.61.81.9