12.17学生用导数各类题型方法总结

导数题型总结（解析版）题型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('xf得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()yfx在区间D上的导数为()fx，()fx在区间D上的导数为()gx，若在区间D上，()0gx恒成立，则称函数()yfx在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，4323()1262xmxxfx（1）若()yfx在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足2m的任何一个实数m，函数()fx在区间,ab上都为“凸函数”，求ba的最大值.例2：设函数),10(3231)(223Rbabxaaxxxf（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[aax不等式()fxa恒成立，求a的取值范围.第三种：构造函数求最值题型特征：)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；从而转化为第一、二种题型例3；已知函数32()fxxax图象上一点(1,)Pb处的切线斜率为3，326()(1)3(0)2tgxxxtxt（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）当[1,4]x时，求()fx的值域；（Ⅲ）当[1,4]x时，不等式()()fxgx恒成立，求实数t的取值范围。二、参数问题题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23．（Ⅰ）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围．.例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32fxxaxaxa（I）求()fx的单调区间；（II）若()fx在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例6、已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数．（1）求实数k的取值范围；（2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数321()22fxaxxxc（1）若1x是()fx的极值点且()fx的图像过原点，求()fx的极值；（2）若21()2gxbxxd，在（1）的条件下，是否存在实数b，使得函数()gx的图像与函数()fx的图像恒有含1x的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网题2：切线的条数问题====以切点0x为未知数的方程的根的个数例7、已知函数32()fxaxbxcx在点0x处取得极小值－4，使其导数'()0fx的x的取值范围为(1,3)，求：（1）()fx的解析式；（2）若过点(1,)Pm可作曲线()yfx的三条切线，求实数m的取值范围．题3：已知()fx在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、例9、已知函数23213)(xxaxf，)0,(aRa（1）求)(xf的单调区间；（2）令()gx＝14x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．其它例题：1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R上的函数32()2fxaxaxb）（0a在区间2,1上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数()fx的解析式；（Ⅱ）若]1,1[t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围.2、（根分布与线性规划例子）（1）已知函数322()3fxxaxbxc(Ⅰ)若函数()fx在1x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30xy平行,求)(xf的解析式；(Ⅱ)当()fx在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值时,设点(2,1)Mba所在平面区域为S,经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分,求直线L的方程.3、（根的个数问题）已知函数32f(x)axbx(c3a2b)xd(a0)的图象如图所示。（Ⅰ）求cd、的值；（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3xy110，求函数f(x)的解析式；（Ⅲ）若0x5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。4、（根的个数问题）已知函数321()1()3fxxaxxaR（1）若函数()fx在12,xxxx处取得极值，且122xx，求a的值及()fx的单调区间；（2）若12a，讨论曲线()fx与215()(21)(21)26gxxaxx的交点个数．5、（简单切线问题）已知函数23)(axxf图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数23()()3bxgxfxa．（Ⅰ）若函数)(xg在1x处有极值，求)(xg的解析式；（Ⅱ）若函数)(xg在区间]1,1[上为增函数，且)(42xgmbb在区间]1,1[上都成立，求实数m的取值范围．