14-12-26高一 三角函数的图像与性质知识点及习题

三角函数的图象与性质基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)π2，1(π，0)32π，－1(2π，0)(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：(kπ＋π2，0)(k∈Z)对称中心：_kπ2，0(k∈Z)周期2π_2ππ单调性单调增区间_[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)___；单调减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)__单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)____；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)______单调增区间_(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)___奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sinx＋5，令t＝sinx(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号)(1)y＝sin2x－π4；(2)y＝sinπ4－2x.练习题:1．函数y＝cosx＋π3，x∈R()．A．是奇函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝tanπ4－x的定义域为()．A.xx≠kπ－π4，k∈ZB.xx≠2kπ－π4，k∈ZC.xx≠kπ＋π4，k∈ZD.xx≠2kπ＋π4，k∈Z3．函数y＝sin(2x＋π3)的图象的对称轴方程可能是()A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π124．y＝sinx－π4的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0)B.－3π4，0C.3π2，0D.π2，05．下列区间是函数y＝2|cosx|的单调递减区间的是()A.(0，π)B.－π2，0C.3π2，2πD.－π，－π26．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对任意x∈R恒成立，且f(π2)f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)【解析】当x∈R时，f(x)≤|f(π6)|恒成立，∴f(π6)＝sin(π3＋φ)＝±1可得φ＝2kπ＋π6或φ＝2kπ－5π6，k∈Z∵f(π2)＝sin(π＋φ)＝－sinφf(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ∴sinφ0∴φ＝2kπ－5π6由－π2＋2kπ≤2x－5π6≤π2＋2kπ得x∈[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)，选C.7.函数f(x)＝3cosx2－π4x∈R的最小正周期为________．8..y＝2－3cosx＋π4的最大值为________，此时x＝______________.题型一与三角函数有关的函数定义域问题例1求下列函数的定义域：(1)y＝sinx－cosx.要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示.在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为x|π4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ，k∈Z.(2)求函数y122logtanxx的定义域.2＋log12x≥0，x0，tanx≥0，x≠kπ＋π2，k∈Z⇒0x≤4，kπ≤xkπ＋π2k∈Z.利用数轴可得图②∴函数的定义域是{x|0xπ2或π≤x≤4}.题型二三角函数图象与解析式的相互转化例2函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A0，ω0,0φπ2)的部分图象如图所示．求f(x)的解析式；【解析】(1)由图可知A＝2，T4＝π3，则2πω＝4×π3∴ω＝32.又f(－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0∴sin(φ－π4)＝0∵0φπ2，∴－π4φ－π4π4∴φ－π4＝0，即φ＝π4∴f(x)＝2sin(32x＋π4)．【点评】根据y＝Asin(ωx＋φ)＋K的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝最高点－最低点2；②K的确定：根据图象的最高点和最低点，即K＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T＝2πω(ω0)来确定ω；④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx＋φ＝0，x＝－φω)确定φ.例3已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的解析式【解析】(1)由函数图象的最低点为M(2π3，－2)，得A＝2，由x轴上相邻两个交点间的距离为π2，得T2＝π2，即T＝π，∴ω＝2ππ＝2.又点M(2π3，－2)在图象上，得2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－11π6，又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.综上可得f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)将f(x)＝2sin(2x＋π6)的图象向右平移π12个单位，得到f1(x)＝2sin[2(x－π12)＋π6]，即f1(x)＝2sin2x的图象，然后将f1(x)＝2sin2x的图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin(2·2x)，即g(x)＝2sin4x.题型三三角函数的单调性与周期性例4写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.解(1)y＝sin2x－π3，它的增区间是y＝sin2x－π3的减区间，它的减区间是y＝sin2x－π3的增区间.由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12，k∈Z.故所给函数的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z；增区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.最小正周期T＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z，减区间是kπ－π2，kπ，k∈Z.最小正周期：T＝π.探究提高(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：①把“ωx＋φ(ω0)”视为一个“整体”；②A0(A0)时，所列不等式的方向与y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).(2)对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝π|ω|，单调区间利用ωx＋φ∈kπ－π2，kπ＋π2，解出x的取值范围，即为其单调区间.(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.