19.第十九讲不等式的应用问题

1第十九讲不等式的应用问题一、引言本讲主要学习绝对值不等式及高次、分式不等式的解法，应用不等式求最值，不等式证明的主要方法，能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值；了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．本讲考纲要求：熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程中的有关问题；通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力．本讲命题方向为：1．结合指数、对数、三角函数考查函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答题形式出现；2．以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考查考生阅读以及分析、解决问题的能力；3．在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函数、导数综合命题这一变化趋势．二、考点梳理1．绝对值的几何意义：||x是指数轴上点x到原点的距离；12||xx是指数轴上12,xx两点间的距离．2．含绝对值的不等式的性质：①||||||||||ababab，当0abb时，左边等号成立；当0ab时，右边等号成立．②||||||||||ababab，当0abb时，左边等号成立；当0ab时，右边等号成立．③进而可得：||||||||||ababab．3．绝对值不等式的解法：（1）解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；（2）去掉绝对值的主要方法有：①公式法：||(0)xaaaxa，||(0)xaaxa或xa．②定义法：00xxxxx，零点分段法；③平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．axbc0c22axbc4．分式不等式的解法：0)()(0)()(xgxfxgxf，.0)(,0)()(0)()(xgxgxfxgxf()0()()0()fxfxgxgx，()()0,()0()0.()fxgxfxgxgx5．常用的证明不等式的方法（1）比较法（2）综合法（3）分析法（4）反证法（5）放缩法（6）换元法（7）构造法6．柯西不等式（1）代数形式：设dcba,,,均为实数，则22222)())((bdacdcba，其中当且仅当bcad时等号成立．2（2）推广形式：设dcba,,,均为实数，则：2222abcdacbd，其中当且仅当bcad时等号成立．（3）几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（ba,），B（dc,），那么它们的数量积为bdac，而22||ba，22||dc，所以柯西不等式的几何意义就是：bdac，其中当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时等号成立．（4）向量形式：设，为平面上的两个向量，则||||||，其中当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时等号成立．7．数学归纳法数学归纳法适用于有关自然数n的命题．具体来讲，数学归纳法常用来证明恒等式，不等式，数的整除性，几何中计数问题，数列的通项与和等．(1)数学归纳法的基本形式：设()Pn是关于自然数n的命题，若①0()Pn成立(奠基);②假设()kPn成立(k≥0n)，可以推出1()kPn成立(归纳)，则()Pn对一切大于等于0n的自然数n都成立．(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等．三、典型例题选讲题型1：高次不等式、分式不等式、绝对值不等式的解法及其应用例1解不等式：(1)23(4)(5)(2)0xxx；（2）322150xxx；（1）解法一：原不等式等价于23(4)(5)(2)0550(4)(2)042xxxxxxxxx或∴原不等式解集为5542xxxx或或解法二：把方程23(4)(5)(2)0xxx的三个根-5,-4,2顺次标在数轴上,然后从右上开始画线顺次经过三个根(奇穿偶不穿)，其解集如下图的阴影部分．（2）解：原不等式可化为0)3)(52(xxx把方程0)3)(52(xxx的三个根3,25,0321xxx顺次标在数轴上．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为3025xxx或归纳小结：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．例2解下列分式不等式：3（1）32122xx；（2）22411372xxxx．解：（1）原不等式等价于3302222xxxxxx23(2)(2)5600(2)(2)(2)(2)xxxxxxxxx(6)(1)(2)(2)0(6)(1)0(2)(2)0(2)(2)xxxxxxxxxx用“穿根法”其解集如下图的阴影部分：∴原不等式解集为,62,1)2,(．（2）原不等式等价于(21)(1)0(31)(2)xxxx(21)(1)(31)(2)0xxxx用“穿根法”∴原不等式解集为11(,)(,1)(2,)32归纳小结：当分式不等式化为()0(0)()fxgx或时，要注意它的等价变形①()0()()0()fxfxgxgx②()()0()0()0()fxgxfxgxgx()0()0()()0()fxfxfxgxgx或或要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．例3解不等式242xx分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义)0()0(aaaaa；二是根据绝对值的性质：,xaaxaxaxa或ax，因此本题有如下两种解法．解法一：原不等式240424042222xxxxxx或即22222321xxxxxx或或或∴32x或21x故原不等式的解集为31xx．解法二：原不等式等价于24)2(2xxx4即)2(42422xxxx∴2312xxx或故原不等式的解集为31xx．归纳小结：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．例4求使不等式axx34有解的a的取值范围．解法一：设()43fxxx，则有(4)(3)3()(4)(3)34(4)(3)4xxxfxxxxxxx作出函数f(x)的图象,得：要使不等式43xxa成立，只需a1，故a的取值范围为a1解法二：设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如下图，由绝对值的几何定义，原不等式|PA|+|PB|＜a的意义是P到A、B的距离之和小于a．因为|AB|=1，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于）1即431xx，故当1a时,43xxa故a的取值范围为a1．归纳小结：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解法一用“零点分段法”去掉绝对值符号，转化为一个分段函数，再用函数的图象求解．解法二用绝对值的几何定义出发,寻找不等式的几何意义求解．两种方法各有特点,都是解决此类问题的常用方法．例5解不等式(1)2233(1)12()2xxx；(2)46290xxx．解：(1)原不等式可化为：2233(1)22xxx,2233(1)xxx．整理，得260xx．解之，得不等式的解集为{x|-3x2}．5(2)原不等式两边同除以9x得42()()2093xx,设2()3xt,则220tt,解得12tt或,即2()13x或2()23x．∴原不等式的解集为{x|23log2x}．归纳小结：解指数不等式的关键是转化为代数不等式．在解的过程中要特别注意未知数的取值范围及指数函数的单调性．第（2）小题中先用到了“换元法”转化为二次不等式后再用指数函数的单调性求出解集．例6解不等式(1)21133log(34)log(210)xxx；(2)(3)log(1)2xx．解：（1）原不等式等价于22340210034210xxxxxx14527xxxx或∴原不等式的解集为{x|-2x-1或4x7}．（2）原不等式等价于210311(3)xxxx或2100311(3)xxxx解之得：4x≤5．∴原不等式的解集为{x|4x≤5}．归纳小结：在解对数不等式时，除要注意根据底数结合对数函数单调性进行等价转化外，还要注意使对数有意义的未知数的取值范围、对数的运算法则和换底公式的应用．题型2：证明不等式例7求证2131211222n．分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n下手考查即可．证明：∵2111111(2)(1)1nnnnnnnn，∴312121111131211222n212111nnn．归纳小结：此题证明过程并不复杂，但思路难寻．本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法，即放缩法．这类题目灵活多样，需要巧妙变形，问题才能化隐为显，这里变形的这一步极为关键．不能放缩不够或放缩过头，财时放缩后便于求和．例8用数学归纳法证明111111111234212122nnnnn，Nn．分析：要证等式的左边共2n项，右边共n项，fk与1fk相比左边增二项，右6边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“nk”到“1nk”时要注意项的合并．证明：（1）当1n时，左边=11122，右边12，命题成立．（2）假设当nk时命题成立，即111111111234212122kkkkk那么当1nk时，左边111111112342122122kkkk111111222122kkkkk1111232122kkkk．上式表明，当1nk时命题也成立．由（1）和（2）知，命题对一切自然数均成立．归纳小结：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到1nk时，等式两边会增加多少项．题型3：不等式的应用例9若231,xy求2249xy的最小值，并求最小值点．解：由柯西不等式得22222(49)(11)(23)1,xyxy22149.2xy2212342131,23.1231611149,(,)246xxyxyxyxyyxy当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为归纳小结：柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用．此题应用的是柯西不等式的代数形式，为了符合公式的结构，用了一个“22211”的凑形技巧．常用的还有