1977年河北省高考数学试卷

1977年河北省高考数学试卷一、解答题（共15小题，满分150分）1．（10分）（1977•河北）叙述函数的定义．2．（10分）（1977•河北）求函数的定义域．3．（10分）（1977•河北）计算：．4．（10分）（1977•河北）计算log42．5．（10分）（1977•河北）分解因式x2y﹣2y3．6．（10分）（1977•河北）计算：．7．（10分）（1977•河北）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．8．（10分）（1977•河北）证明：．9．（10分）（1977•河北）已知2lgx+lg2=lg（x+6），求x．10．（10分）（1977•河北）某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD和DC为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？11．（10分）（1977•河北）工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5：2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）12．（10分）（1977•河北）已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB•AD．13．（10分）（1977•河北）下列两题选做一题．（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长．（乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程．14．（10分）（1977•河北）将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）15．（10分）（1977•河北）利用定积分计算椭圆所围成的面积．1977年河北省高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共15小题，满分150分）1．（10分）（1977•河北）叙述函数的定义．考点：函数的概念及其构成要素．分析：直接叙述即可．解答：答：设A，B为非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域；与x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．．点评：本题考查了函数的定义，注意原始定义的准确记忆和确切理解．2．（10分）（1977•河北）求函数的定义域．考点：函数的定义域及其求法．分析：求函数定义域就是保证函数有意义，本题只需2﹣3x＞0就可．解答：解：由．故函数定义域为{x|x＜}点评：求函数定义域的常用方法：（1）分母不为0；（2）偶次根式下的式子大于等于0；（3）对数函数的真数大于0；（4）0的0次幂没有意义3．（10分）（1977•河北）计算：．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：直接利用分数指数幂的运算性质计算．解答：解：原式=（1﹣）÷=（﹣3）÷=3×=2．点评：有理数指数幂的运算法则：①ar•as=ar+s（a＞0，r，s都是有理数），②（ar）s=ars（a＞0，r，s都是有理数），③（a•b）r=arbr（a＞0，b＞0，r是有理数）．4．（10分）（1977•河北）计算log42．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：利用对数的性质直接计算即可．解答：解：原式=．点评：本题考查对数的运算性质，是基础题．5．（10分）（1977•河北）分解因式x2y﹣2y3．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：先提取公因式y，再利用平方差公式将已知的代数式因式分解开．解答：解：原式=y=．点评：本题考查进行因式分解时，一般先提取公因式．6．（10分）（1977•河北）计算：．考点：运用诱导公式化简求值．分析：利用诱导公式═解答：解：原式=．点评：本题主要考查诱导公式的运用．做题过程中一定要注意正负值．7．（10分）（1977•河北）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：证明题．分析：连接OD，欲证明DC是⊙O的切线，只要证明CD⊥OD即可．解答：证明：连接OD；∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．∵AD∥OC，∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠COD．∴∠BOC=∠COD．∵OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC，又BC是⊙O的切线．∴∠OBC=90°．∴∠ODC=90°．∴DC是⊙O的切线．点评：本题考查切线的性质和判定及圆周角定理的综合运用，属于基础题．8．（10分）（1977•河北）证明：．考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：直接利用二倍角的正弦、余弦公式化简等式的左边，通过配方、约分，化简出要证的右边即可．解答：证：左边=====右边．所以等式成立．点评：本题是基础题，考查三角恒等式的证明，二倍角的正弦、余弦公式的应用，三角函数的平方关系的应用，是本题的关键，注意恒等式的证明方法．9．（10分）（1977•河北）已知2lgx+lg2=lg（x+6），求x．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：将对数方程两边化成同底数的形式，再依据对数函数的单调性去掉对数符号，化成整式不等式解即可．解答：解：由原方程可得lg2x2=lg（x+6）2x2﹣x﹣6=0，∴（增根）故原方程的解为x=2．点评：本题主要考查对数的运算性质、对数函数的性质等，属于基础题．10．（10分）（1977•河北）某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的篱笆（如图，AD和DC为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？考点：根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．专题：应用题．分析：首先设出自变量x和函数s，设BC为x，则AB为30﹣x，苗圃的面积为S，由图可知苗圃是一个梯形，要表示梯形的面积必须知道梯形的上底，下底和高（过D作DE⊥AB交AB于E），梯形的上底是线段CD，下底是线段AB，高是线段DE，由题意可知四边形BCDE是一个矩形，则DE=BC=x，又因为三角形ADE为等腰直角三角形，所以AE=DE=x，则BE=CD=30﹣2x，根据梯形的面积公式得出S与x的二次函数关系式，求出其最大值即可．解答：解：如图，设BC长为x，苗圃面积为S．过D作DE⊥AB交AB于E．由已知条件可得AB=30﹣x，∠DAB=45°，AE=DE=BC=x，CD=BE=AB﹣AE=30﹣2x，∴S=+150．由此可知，当x=10时，S取最大值．所以，当BC=10米，AB=20米时，苗圃面积最大，这时S=150米2．点评：本题主要考查学生根据实际问题选择函数关系的能力，应用数学解决实际问题的能力．11．（10分）（1977•河北）工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5：2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）考点：根据实际问题选择函数类型；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：应用题．分析：设下下底边长分别为5x，2x，以之表示出体积，用体积为208立方分米建立关于x的方程即可求出上、下底边的边长．再用表面积公式求出其表面积即可知道做这样的容器需要多少平方分米的铁皮．解答：解：设正四棱台形容器上口边长AB=5x，则下底面边长A1B1=2x，设表面积为S．因正四棱台的体积∴，∴x2=4，∴x=2，∴AB=10（分米），A1B1=4（分米）．由此可得==156（平方分米）=1.56（平方米）故共需铁皮1.56平方米．点评：考查正四棱台的表面积与体积公式，训练答题者的空间想象能力与正四棱台的结构．12．（10分）（1977•河北）已知：如图，MN为圆的直径，P、C为圆上两点，连PM、PN，过C作MN的垂线与MN、MP和NP的延长线依次相交于A、B、D，求证：AC2=AB•AD．考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：证明题．分析：首先用两个角对应相等证明两个三角形相似，在相似三角形中写出对应边成比例，又根据直角三角形的射影定理，得到比例式，结合两个比例式，得到要证明的结论．解答：证明：在△ABM与△AND中，∠BAM=∠NAD=90°∠AMB=∠ADN=90﹣∠MND，∴△ABM∽△AND，AB：AN=AM：AD，AN•AM=AB•AD①又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，∴AC2=AM•AN②由①，②得AC2=AB•AD．点评：本题考查相似三角形的证明和性质，考查直角三角形的射影定理，是一个证明对应线段成比例的问题，是一个基础题．13．（10分）（1977•河北）下列两题选做一题．（甲）已知椭圆短轴长为2，中心与抛物线y2=4x的顶点重合，椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，求椭圆方程及其长轴的长．（乙）已知菱形的一对内角各为60°，边长为4，以菱形对角线所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，以菱形60°角的两个顶点为焦点，并且过菱形的另外两个顶点作椭圆，求椭圆方程．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合；待定系数法．分析：（甲）根据椭圆的一个焦点恰是此抛物线的焦点，可求出椭圆的焦点坐标，和判断椭圆标准方程的形式，及c的值，根据a2=b2+c2，即可求得椭圆方程及其长轴的长；（乙）由椭圆的焦点是菱形60°角的两个顶点，根据椭圆的定义可知2a=8，由图及已知条件可得b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4，即可求出椭圆方程．解答：（甲）解：设所求之椭圆方程为∵2b=2，∴b=1．由抛物线方程y2=4x可知它的焦点而（1，0），所以点（1，0）也是椭圆的一个焦点，于是c=1，从而，故所求之椭圆方程为，长轴的长为．（乙）解：设以菱形内角为600的一对顶点为端点的对角线所在的直线为X轴，建立直角坐标系．设椭圆方程为．由图及已知条件可得b=BO=BC•sin30°=2a=BC=4．故所求之椭圆方程为．点评：此题是个基础题．考查椭圆的定义和标准方程即简单的几何性质，应用了待定系数法求椭圆方程，体现了数形结合的思想方法．14．（10分）（1977•河北）将函数f（x）=ex展开为x的幂级数，并求出收敛区间．（e=2.718为自然对数的底）考点：导数的运算．专题：计算题．分析：利用基本初等函数的导数个数求出f（x）的各阶导数相同，利用幂级数的定义找到它的收敛区间．解答：解：∵f（x）=ex，∴f′（x）=f″（x）=fn（x）=ex∴f（0）=f′（0）=f″（0）=fn（0）=1函数在区间﹣r≤x≤r上有|fn（x）|=|ex|≤er（n=1，2）所以函数ex可以在区间[﹣r，r]上展开成幂级数，因为r＞0是任意的，所以，函数ex在区间（﹣∞，+∞）上可展成幂级数，特别的它的马克劳林级数是．点评：本题考查基本初等函数的个数、考查幂级数及收敛区间的定义．15．（10分）（1977•河北）利用定积分计算椭圆所围成的面积．考点：定积分；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：依据椭圆的对称性，只要求出椭圆在第一角限内部分的面积即可，利用定积分的几何意义，即求出即得．解答：解：因为椭圆关于x轴和y轴都是对称的，所以所求之面积为令则，dx=acosθdθ∴=．点评：运用定积分求面积，其关键是确定出被积函数和积分的上、下限．一般是应先根据题意，借助图形的直观性确定出被积函数，求出两条曲线的交点的坐标确定积分的上、下限，进而由定积分求出其面积