1982年(高考数学试题文理科)

1一九八二年（理科）一．（本题满分6分）填表：函数使函数有意义的x的实数范围12xy{0}22)(xyR3)arcsin(sinxyR4)sin(arcsinxy[-1,1]5xylg10(0,+∞）6xy10lgR解：见上表。二．（本题满分9分）1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值;2．求3cos2xy的导数。解：1.第15项T15=.38760)()1(6201461420CiC2..32sin31)3(3sin3cos2)3)(cos3(cos2xxxxxxy三．（本题满分9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形。1．;0436323112yx2．.sin2,cos1yx解：1.得2x-3y-6=0图形是直线。2.化为,14)1(22yx图形是椭圆。四．（本题满分12分）已知圆锥体的底面半径为R，高为H。求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）。Y1XOY1OX2解：设圆柱体半径为r高为h。由△ACD∽△AOB得.RrHhH由此得),(hHHRr圆柱体体积.)()(2222hhHHRhrhV由题意，H＞h＞0，利用均值不等式，有.)(,3,,2.274274224232222最大时因此当时上式取等号当原式hVHhhhHHRHHRhhHhHHR（注：原“解一”对h求导由驻点解得。）五．（本题满分15分）的大小与比较设|)1(log||)1(log|,1,0,10xxaaxaa（要写出比较过程）。解一：当a1时，.|)1(log||)1(log|,1,0,10.|)1(log||)1(log|,0)1(log,110,10).1(log|)1(log||)1(log|),1(log|)1(log|),1(log|)1(log|,10.|)1(log||)1(log|,0)1(log,110,1).1(log)]1(log)1([log|)1(log||)1(log|),1(log|)1(log|),1(log|)1(log|222222xxaaxxxxxaxxxxxxxaxxxxaxxxxxxxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa总有时因此当时当解二：|)1(log|)1(log)1(log|)1(log||)1(log|1xxxxxxaaaa,110,11xxADcHhBEO2R3|)1(log||)1(log|,1|)1(log||)1(log|,10)1(log,110,11)1(log111log11log)1(log212212111xxxxxxxxxxxxaaaaxxxxx即原式原式六．（本题满分16分）如图：已知锐角∠AOB=2α内有动点P，PM⊥OA，PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数c2。今以O为极点，∠AOB的角平分线OX为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线。解：设P的极点坐标为（ρ，θ）∴∠POM=α-θ，∠NOM=α+θ，OM=ρcos(α-θ),PM=ρsin(α-θ),ON=ρcos(α+θ),PN=ρsin(α+θ),四边形PMON的面积.2sin2.2sin2)sin(cossin,cos.2sin22cos2cos2sin2)](2sin)(2[sin4)]sin()cos()sin()[cos(2:,)]sin()cos()sin()[cos(221212222222222222222cyxcyxccccPPNONPMOMS即为化为直角坐标方程上式用即用和差化积公式化简得用倍角公式化简得的轨迹的极坐标方程是动点依题意这个方程表示双曲线。由题意，动点P的轨迹是双曲线右面一支在∠AOB内的一部分。AMP（ρ，θ）XONB4七．（本题满分16分）已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形。证：连结AC，在△ABC中，∵AM=MB，CN=NB，∴MN∥AC。在△ADC中，∵AQ=QD，CP=PD，∴QP∥AC。∴MN∥QP。同理，连结BD可证MQ∥NP。∴MNPQ是平行四边形。取AC的中点K，连BK，DK。∵AB=BC，∴BK⊥AC，∵AD=DC，∴DK⊥AC。因此平面BKD与AC垂直。∵BD在平面BKD内，∴BD⊥AC。∵MQ∥BD，QP∥AC，∴MQ⊥QP，即∠MQP为直角。故MNPQ是矩形。八．（本题满分18分）抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切。解：不失一般性，设p0,q0.又设y2=2px的内接三角形顶点为A1（x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3)因此y12=2px1，y22=2px2，y32=2px3。其中y1≠y2,y2≠y3,y3≠y1.依题意，设A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，要证A3A1也与抛物线x2=2qy相切。因为x2=2qy在原点O处的切线是y2=2px的对称轴，所以原点O不能是所设内接三角形的顶点。即（x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，都不能是（0，0）;又因A1A2与x2=2qy相切，所以A1A2不能与Y轴平行，即x1≠x2,y1≠-y2,直线A1A2的方程是),(112121xxxxyyyyBMRANQDKSPCYx2=2qyy2=2pxA1OA2A3X5).(2))((1212122122xxpyyyyyy(1)0)(2.0)2(4)4(,2,0242.2212122121221221212121222121212121yyyyqpyyyqyyypqqyxAAyyyqyxyypqxqyxAAyyyyxyypyAA化简得上面二次方程的判别式相切与抛物线由于交点的横坐标满足与抛物线方程是同理由于A2A3与抛物线x2=2qy相切，A2A3也不能与Y轴平行，即x2≠x3,y2≠-y3,同样得到(2)0)(2p32322yyyyq由（1）（2）两方程及y2≠0,y1≠y3,得y1+y2+y3=0.由上式及y2≠0,得y3≠-y1，也就是A3A1也不能与Y轴平行。今将y2=-y1-y3代入（1）式得：(3)0)(2p13132yyyyq(3)式说明A3A1与抛物线x2=2qy的两个交点重合，即A3A1与抛物线x2=2qy相切。所以只要A1A2，A2A3与抛物线x2=2qy相切，则A3A1也与抛物线x2=2qy相切。九．（附加题，本题满分20分，计入总分）已知数列,21,,naaa和数列,,,,21nbbb其中111,,nnpaaqbpa).0,0,,,(),2(11rpqrqpnrbqabnnn且是已知常数1．用p,q,r,n表示bn，并用数学归纳法加以证明;2．求.lim22nnnnbab解：1.∵a1=p,an=pan-1,∴an=pn.又b1=q,b2=qa1+rb1=q(p+r),b3=qa2+rb2=q(p2+pq+r2),…设想.)()(121rprpqrrppqbnnnnnn6用数学归纳法证明：当n=2时，,)()(222rprpqrpqb等式成立;设当n=k时，等式成立，即,)(rprpqbkkk则bk+1=qak+rbk=,)()(11rprpqrprprqqpkkkkk即n=k+1时等式也成立。所以对于一切自然数n≥2，rprpqbnnn)(都成立。.)(lim,0)(,,10,])(1[)(])(1[lim,,)()()(lim,0,)()()(limlim.222222222222222222qrpqbabprnprprqrpprqprpqrpprpqrprprpqprprpqbabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn时故当原式分子分母同除以原式一九八二年（文科）一．（本题满分8分）填表：函数使函数有意义的x的实数范围12xy{0}722)(xyR3xylg10(0,+∞）4xy10lgR解：见上表。二．（本题满分7分）求（-1+i)20展开式中第15项的数值;解：第15项T15=.38760)()1(6201461420CiC三．（本题满分7分）方程曲线名称图形1.4x2+y2=4椭圆yox2.x-3=0直线yox解：见上图。四．（本题满分10分）已知,1,2122yxyx求22yx的值。解：.47))((,27,47431)(,434112,412,41)(222222yxyxyxyxyxxyyxyxyx得即（注：三角换元法解亦可。）五．（本题满分10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）。已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？8解：设长方形场地的宽为x，则长为L-3x，它的面积.12)6(33)3(222LLxLxxxLxy当宽6Lx时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为,2633LLLxL最大面积为.122L答：略。六．（本题满分12分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，1．用平面A1BC1截去一角后，求剩余部分的体积;2．求A1B和B1C所成的角。解：1.∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴△A1B1C1是棱锥B-A1B1C1的底，BB1是棱锥的高，△A1B1C1的面积=221a，截下部分体积=,,62131313321111aaaaCBABB正方体体积的面积剩余部分体积=.6561333aaa2.连结D1C和D1B1，∵，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C，∴∠B1CD1即A1B与B1C所成的角，∵正方体各面上对角线的长度相等，即D1B1=B1C=D1C，∴△D1CB1是等边三角形。∴∠D1CB1=600，∴A1B与B1C成600的角。七．（本题满分12分）D1C1A1B1DCABD1C1A1B1DCABBCDA//119已知定点A，B且AB=2a，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解：选取AB所在直线为横轴，从A到B为正方向，以AB中点O为原点，过O作AB的垂线为纵轴，则A为（-a，0），B为（a，0），设P为（x,y)。.033103],)[(4)(.2)()(,1222222222222ayaxxyaxyaxyaxyaxPBPA因为x2,y2两项的系数相等，且缺xy项，所以轨迹的图形是圆。八．（本题满分16分）求3512431179ctgtgctgtg的值。解：九．（本题满分18分）如图，已知△AOB中，OA=b，OB=a,∠AOB=θ(a≥b,θ是锐角）。作AB1⊥OB，B1A1∥BA;再作A1B2⊥OB，B2A2∥BA;如此无限连续作下去。设△ABB1，△A1B1B2，…的面积为S1，S2，…求无穷数列S1，S2，…的和。解：AB1=，BB1=cosbaOA2B3A1B2AB1B454sin54sin454sin18sin18sin36cos