1984年全国高中数学联赛试题及解答

1984年全国高中数学联赛冯惠愚-1-1984年全国高中数学联赛试题第一试1．选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分)⑴集合S={－2Z|argZ=α，α为常数}在复平面上的图形是()A．射线argZ=2αB．射线argZ=－2αC．射线argZ=αD．上述答案都不对⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式logx(logxy2)0的是()y2=xy2=xy2=xy2=xx=1x=1x=1x=11D.C.B.A.OxyOxyOxyOxy1111111⑶对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程ρ=11－Cnmcosθ表示的不同双曲线条数是()A．15B．10C．7D．6⑷方程sinx=lgx的实根个数是()A．1B．2C．3D．大于3⑸若a0，a≠1，F(x)是一个奇函数，则G(x)=F(x)∙(1ax－1+12)是A．奇函数B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关⑹若F(1－x1+x)=x，则下列等式中正确的是()A．F(－2－x)=－2－F(x)B．F(－x)=F(1+x1－x)C．F(x－1)=F(x)D．F(F(x))=－x⑺若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动1984年全国高中数学联赛冯惠愚-2-B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动⑻若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是F(x)，则函数F(x)在其定义域上A．是增函数但无最大值B．是增函数且有最大值C．不是增函数但无最大值D．不是增函数但有最大值2．填充题(本题满分10分，每小题5分)⑴如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，作DC⊥AB，交圆周于C，若点D的坐标为D(x，0)，则当x∈时，线段AD、BD、CD可以构成锐角三角形．⑵方程cosx4=cosx的通解是，在(0，24π)内不相同的解有个．第二试1．(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明．否则给出反例．⑴若P、Q是直线l同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过P、Q且与直线l相切；⑵若a0，b0，且a≠1，b≠1，则logab+logba≥2．⑶设A、B是坐标平面上的两个点集，Cr={(x，y)|x2+y2≤r2}，若对任何r≥0，都有Cr∪ACr∪B，则必有AB．DCBA11yxO1984年全国高中数学联赛冯惠愚-3-2．(本题满分10分)已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线AA的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设AE=m，AF=n，求EF(A在直线a上，A在直线b上)．3．(本题满分15分)如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，证明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于49(SXY…Z表示多边形XY…Z的面积)．4．(本题满分15分)设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3…，试证：0.a1a2…an…是有理数．1984年全国高中数学联赛冯惠愚-4-5．(本题满分15分)设x1，x2，…，xn都是正数，求证：x21x2+x22x3+…+x2n－1xn+x2nx1≥x1+x2+…+xn．1984年全国高中数学联赛冯惠愚-5-1984年全国高中数学联赛试题解答第一试1．选择题(本题满分40分，每小题答对得5分答错得0分，不答得1分)⑴集合S={－2Z|argZ=α，α为常数}在复平面上的图形是()A．射线argZ=2αB．射线argZ=－2αC．射线argZ=αD．上述答案都不对解：由于argZ∈[0.2π)，故不存在答案B．arg－Z=2π－α，故选D．⑵下列四个图形的阴影部分(不包括边界)满足不等式logx(logxy2)0的是()y2=xy2=xy2=xy2=xx=1x=1x=1x=11D.C.B.A.OxyOxyOxyOxy1111111解：当0x1时，得1y2x0；当x1时，得y2x1．选D．⑶对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程ρ=11－Cnmcosθ表示的不同双曲线条数是()A．15B．10C．7D．6解：由e=Cnm，若表示双曲线，则e1，由Cnm1，可得m、n的不同取值为C15=5，C25=10，C14=4，C24=6，C13=3，C12=2，共有6个不同的值，故选D．⑷方程sinx=lgx的实根个数是()A．1B．2C．3D．大于3解：作y=sinx及y=lgx的图象，当x10时，lgx1．故二者只在(0，10)内可能有交点．经作图可知，二者在(0，π)内有一交点，在(2π，3π)内有一交点．选C．⑸若a0，a≠1，F(x)是一个奇函数，则G(x)=F(x)∙(1ax－1+12)是A．奇函数B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关1984年全国高中数学联赛冯惠愚-6-解：G(x)=F(x)∙ax+12(ax－1)，故G(－x)=G(x)，且G(x)的定义域是F(x)的定义域与{x|x≠0，x∈R}的交集，为以原点为对称的区域，故选B．⑹若F(1－x1+x)=x，则下列等式中正确的是()A．F(－2－x)=－2－F(x)B．F(－x)=F(1+x1－x)C．F(x－1)=F(x)D．F(F(x))=－x解：令t=1－x1+x，得x=1－t1+t，即F(t)=1－t1+t，经一一验证，知F(－2－x)=－2－F(x)，选A．⑺若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动解：令x=cosωt，y=sinωt．则－2xy=－sin2ωt=cos(3π2－2ωt)y2－x2=－cos2ωt=sin(3π2－2ωt)．显然－2ωt与ωt旋转方向相反．故选C．⑻若四面体的一条棱长是x，其余棱长都是1，体积是F(x)，则函数F(x)在其定义域上A．是增函数但无最大值B．是增函数且有最大值C．不是增函数但无最大值D．不是增函数但有最大值解：定义域为0x3，当x=32时，F(x)最大，故选D．2．填充题(本题满分10分，每小题5分)⑴如图，AB是单位圆的直径，在AB上任取一点D，作DC⊥AB，交圆周于C，若点D的坐标为D(x，0)，则当x∈时，线段AD、BD、CD可以构成锐角三角形．解：由对称性，先考虑0≤x1的情况，设AD=a，BD=b，CD=c，则a+b=2，ab=c2，且必有a≥c≥b，于是只要考虑c2+b2a2，即(1－x)(1+x)+(1－x)2(1+x)2，解得0≤x5－2．DCBA11yxO1984年全国高中数学联赛冯惠愚-7-∴2－5x5－2．⑵方程cosx4=cosx的通解是，在(0，24π)内不相同的解有个解：x4=2kπ±x，x=83kπ，与x=85mπ．当083k24时，k=1，2，…，8；当085m24时，m=1，2，…，14；而当k=3，m=5及k=6，m=10时，解是相同的，故共有8+14－2=20个不同的解．第二试1．(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明．否则给出反例．⑴若P、Q是直线l同侧的两个不同点，则必存在两个不同的圆，通过P、Q且与直线l相切；⑵若a0，b0，且a≠1，b≠1，则logab+logba≥2．⑶设A、B是坐标平面上的两个点集，Cr={(x，y)|x2+y2≤r2}，若对任何r≥0，都有Cr∪ACr∪B，则必有AB．解：⑴若PQ∥l，则只能作出一个圆过P、Q且与直线l相切；⑵若a1，0b1，则logab+logba≤－2；⑶A={(x，y)|x2+y2≤r2}，B={(x，y)|0x2+y2≤r2}，于是Cr∪ACr∪B恒成立，但不满足AB．2．(本题满分10分)已知两条异面直线a、b所成的角为θ，它们的公垂线AA的长度为d，在直线a、b上分别取点E、F，设AE=m，AF=n，求EF(A在直线a上，A在直线b上)．解：EF=m2+n2+d2±2mncosθ．(证明见课本)．3．(本题满分15分)如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA，若S△ABC=1，证明：S△BPF、S△PCE、S□PEAF中至少有一个不小于49(SXY…Z表示多边形XY…Z的面积)．证明：如图，三等分BC于M、N，若点P在BM上(含点M)，则由于PE∥AB，则△CPE∽△CBA．CP∶CB≥23．于是S△PCE≥49．同BCAEFPMN1984年全国高中数学联赛冯惠愚-8-理，若P在NC上(含点N)，则S△BPF≥49．若点P在线段MN上．连EF，设BPBC=r(13r23)，则CPBC=1－r．S△BPF=r2，S△PCE=(1－r)2．∴S△BPF+S△PCE=r2+(1－r)2=2r2－2r+1=2(r－12)2+122(13-12)2+12=59．于是S□AEPF≥49．故命题成立．4．(本题满分15分)设an是12+22+32+…+n2的个位数字，n=1，2，3…，试证：0.a1a2…an…是有理数．解由于12+22+…+n2的个位数字只与1到n的个位数字的平方和有关，故只要考虑这些数的个位数字的平方：但12≡1．22≡4，32≡9，42≡6，52≡5，62≡6，72≡9，82≡4，92≡1，02≡0(mod10)∴a1=1，a2=5，a3=4，a4=0，a5=5，a6=1，a7=0，a8=4，a9=5，a10=5，a11=6，a12=0，a13=9，a14=5，a15=0，a16=6，a17=5，a18=9，a19=0，a20=0．由a20=0知，a20k+r=ar(k，r∈N，0≤r≤19，并记a0=0)，即0.a1a2…an…是一个循环节为20位数的循环小数，即为有理数．其一个循环节为“15405104556095065900”．5．(本题满分15分)设x1，x2，…，xn都是正数，求证：x21x2+x22x3+…+x2n－1xn+x2nx1≥x1+x2+…+xn．证明x21x2+x2≥2x1，x22x3+x3≥2x2，x23x4+x4≥2x3，…，x2nx1+x1≥2x1．上述各式相加即得．BCAEFPMN