1988年全国高中数学联赛试题

1988试题部分第一试一选择题本题共有5题,每个小题都给出了代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有结论是正确的，请把正确结论的代号定在题后的圆括号内.1.有三个函数,第一个是()yx,它的反函数就是第二个函数,而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线0xy对称,那么第三个函数是(A)()yx(B)()yx(C)1()yx(D)1()yx答()2.已知原点在椭圆22224210kxykxkyk的内部,那么参数k的取值范围是(A)||1k(B)||1k(C)11k(D)0||1k答()3.平面上有三个点集M,N,P:(,)||||1Mxyxy,2221111(,)()()()()222222Nxyxyxy,(,)||1,||1,||1Pxyxyxy.则(A)MPN(B)MNP(C)PNM(D)(A)、（B）、（C）都不成立答（）4.已知三个平面,,,每两个平面之间的夹角都是,且,,abc.若有命题甲:3;命题乙:,,abc相交于一点.则(A)甲是乙的充分条件但不必要(B)甲是乙的必要条件但不充分(C)甲是乙的充分必要条件(D)(A)、（B）、（C）都不对答()5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们有I表示所有直线的集合,M表示恰好通过一个数点的直线的集合,N表示不通过任何整点的直线的集合,P表示通过无穷多个整点的直线的集合,那么表达式(1)MNPI;(3)N;(2)N;(4)P.中正确的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4答()二、填空题1.设xy,且两数列123,,,,xaaay和1234,,,,bxbbb均为等差数列,那么4321bbaa=____________.2.21(2)nx的展开式中,x的整数次幂的各项系数之和为____________________.3.ABC中,已知,,AaCDBE分别是AB,AC上的高,则DEBC_____________.4.甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程的种数为______________________.三、长为2,宽为1的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体体积.四、复平面上动点1z的轨迹方程为1010||||,zzzz为定点,00z,另一个动点z满足11zz,求点z的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.五、已知,ab为正数,且111ab,试证:对每一个21,()22nnnnnnNabab.第二试一、已111221153,1,2,,nnnnnnnnnaaaaaaaaaaa为偶数时;为奇数时.试证:对一切10,1,2,3,...nnkkn,0,nnnNaa不是4的倍数.二、如图,在ABC中,P,Q,R将其周长三等分,且P,Q在QBAPRCAB边上,求证:29PQRABCSS.三、在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线12,,...,,...nlll的直线族,它满足条件:(1)点(1,1),1,2,3,...;nln(2)1nnnkab,其中1nk是1nl的斜率,na和nb分别是nl在x轴和y轴上的截距,1,2,3,...;n(3)10,1,2,3,...nnkkn.并证明你的结论.