1991年高考数学试题全国卷

第1页1991年高考数学试题(理工农医类)一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.【】(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是【】(A)y2=8(x+1)(B)y2=-8(x+1)(C)y2=8(x-1)(D)y2=-8(x-1)(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是【】(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对【】【】(6)如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的【】(A)垂心(B)重心(C)外心(D)内心(7)已知{an}是等比数列,且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于【】(A)5(B)10(C)15(D)20【】(A)(0,0),(6,π)(B)(-3,0),(3,0)(C)(0,0),(3,0)(D)(0,0),(6,0)(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有【】(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种第2页【】(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么【】(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件(C)丙是甲的充要条件(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件【】(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是【】(A)增函数且最小值为－5(B)增函数且最大值为－5(C)减函数且最小值为－5(D)减函数且最大值为－5【】(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于【】二、填空题：把答案填在题中横线上.(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是45°,那么这个正三棱台的体积等于.(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数a1,那么a=.(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝a.那么这个球面的面积是.第3页三、解答题.(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合.第4页第5页(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.第6页(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.第7页(25)已知n为自然数,实数a1,解关于x的不等式第8页第9页1991年高考数学试题（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.(1)A(2)D(3)B(4)B(5)A(6)D(7)A(8)D(9)C(10)C(11)A(12)C(13)B(14)C(15)D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.三、解答题.(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=2+sin2x+cos2x(22)本小题考查复数基本概念和运算能力.(23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.解：如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O.因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.∵BD⊥AC,第10页∴EF⊥HC.∵GC⊥平面ABCD,∴EF⊥GC,∴EF⊥平面HCG.∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离.注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.(24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.证法一：在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1x2,∵x1x2,∴x1-x20.所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.证法二：在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1x2,∵x1x2,∴x1-x20.∵x1,x2不同时为零,即f(x2)f(x1).所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.第11页(25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力.解：利用对数换底公式,原不等式左端化为因为a1,②式等价于logaxloga(x2-a).因为a1,②式等价于第12页(26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力.依题意知,点P,Q的坐标满足方程组将②式代入①式,整理得(5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0.③根据根与系数的关系,有第13页整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0.⑥将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得3a4+8a2b2-3b4=0,(a2+3b2)(3a2-b2)=0.因为a2+3b2≠0,解得b2=3a2,整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0.⑦将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1.将a2=1代入b2=3a2得b2=3.解法二：④式以上同解法一.将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得3a4+8a2b2-3b4=0,即(a2+3b2)(3a2-b2)=0.因a2+3b2≠0,解得b2=3a2.即(x2-x1)2=10.⑥将④式代入⑥式并整理得(5b2-3a2)2-16a2b4=0.将b2=3a2代入上式,得a2=1,将a2=1代入b2=3a2得b2=3.故所求双曲线方程为