1998年哈尔滨工业大学量子力学试题

1998量子力学考研试题一.（见习题选讲3.1）质为m的粒子处于一维位势axVaxxxV00,00,)(0中，导出其能量本征值0VE时满足的方程。解：将求解区间按位势的不同分为三个，分别记为I、II和III。在三个区域中，波函数分别为xBxkxAxxIIIIIIexp)(sin)(0)(其中，mEk2；)(20EVm由0x处的连接条件)0()0(III知0sinA即要求n于是，kxAxIIsin)(再由ax处的连接条件)()()()(''aaaaIIIIIIIIII得到aaBkaAkBkaAecosesin由上式可得kkactan此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能数值求解或用作图法求解。由于，余切值是负数，所以，角度ka在第二、四象限。若令002mVk则超越方程可以改写成akkaka0sin若用作图法求解上式，则其解是曲线kaysin1与akkay02的交点。讨论一种特殊情况，即0V，这时，0k，于是，02y。曲线1y与坐标横轴的交点就是所求的解，即,3,2,1,nnka进而可以得到22222nmaEn与无限深势阱的结果完全一致。二.（见2000年第一题）质量为m的粒子作一维自由运动，如果粒子处于kxAx2sin的状态上，求其动量pˆ与动能Tˆ的其中几率分布及平均值。解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为mpTxp2ˆˆ;ddiˆ2显然，两者相互对易，且满足xmpxTxpxppppp2ˆˆ2两者有共同完整本征函数pxxpiexp21将x向xp展开，即pxcxppd展开系数kppkpAxxxxxAxkxkxxAxkxkxxAxxxckkppppp202224d224di2exp2i2exp4di2iexpiexpd202**2**只有当kp2,0时，0pc。利用归一化条件12ppc可知，归一化常数为34A于是有61;32;61202kkccc动量的取值几率为612;320;612kpWpWkpW平均值为0pppWp动能的的取值几率与动量相同，而平均值为mkpWmpTp322222三.（见1999年第四题）若一维体系的哈密顿算符xVpH2ˆˆ2不显含时间，在能量表象中证明：(1)mnmnmnxEEpi(2)mmnmnnmpxEE22222(3)mnnmnnmxVxxEEdd22证明：（1）利用算符微分的定义可知mnmnkknmkknmkmnmnmnmnxEExHHxxHHxHxtxtxi1i1ˆˆi1ˆ,i1dd而从另一个角度出发，又可以得到mnmnmnmnmnmnppxVpxHxtxtx1i221i12ˆ,i1ˆ,i1dd2比较上述两式得到，mnmnmnxEEpi（2）从计算动量算符平方的平均值出发，有22222iiˆmnnnmnmnmmnmnnnmnmnmmxEExEExEEppp整理之，有mmnmnnmpxEE22222（3）利用维里定理，rVrT21得到mmmmxVxxpdd21ˆ212于是，有mnnmnnmxVxxEEdd22四.（见习题选讲8.1）求自旋角动量在任意方向n（方向余弦为cos,cos,cos）的投影算符cosˆcosˆcosˆˆzyxnssss的本征值和相应的本征矢。解：将三个自旋分量算符代入自旋算符的投影nsˆ中，得到其矩阵表示为cosicoscosicoscoscos2cos10012cos0ii02cos01102ˆns设nsˆ的本征值为，则其满足的本征方程为2121cosicoscosicoscoscos2cccc相应的久期方程为02cosicoscosicoscos2cos解之得2上式表明，自旋在任意方向的投影的本征值总是2。为了求出21相应的本征矢，将其代入本征方程，得到12cos1icoscoscc再利用归一化条件12221cc得到归一化的本征矢为cos1icoscos12cos12同理可以求出22相应的本征矢为cos1icoscos12cos12五.设有一量子体系，其能量算符0ˆH的本征矢记为,2,1,0nn，给定厄米特算符BAˆ,ˆ及ABCˆ,ˆiˆ。设体系受到微扰0ˆ,ˆiˆHAW的作用，若已知0ˆ0,0ˆ0,0ˆ0000CCBBAA，试在微扰后的基态（无简并）下计算Bˆ的平均值，准确到量级。解：设0ˆH满足nEnHn00ˆ则哈密顿算符WHHˆˆˆ0的基态波函数的一级近似为0ˆi00ˆ00i0ˆi00ˆi00ˆˆˆi00ˆ000000000000001AAAAnnAnnEEAHHAnnEEWnnnnnnnn利用归一化条件211100O若准确到量级，则一级近似波函数已经归一化。在微扰后的基态的一级近似之下计算Bˆ的平均值，得到202000110ˆˆˆˆ0i0ˆˆ00ˆˆ0i0ˆ0OBAABBOBAAAABBB再利用ABCˆ,ˆiˆ，并略去的二次项，00110ˆ0CBB