预备篇：矢量分析与场论

番外篇：矢量函数与场论本章主要内容1、矢量及其代数运算2、矢量场3、标量场1.1矢量及其代数运算1.1.1标量和矢量力学问题中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（Scalar）和矢量(Vector)。一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量，例如，压力、温度、时间、质量等。实际上，所有实数都是标量。一个有大小和方向的物理量称为矢量，力、速度、力矩等都是矢量。例如，矢量A可以表示成A=An其中，A是矢量A的大小;n代表矢量A的方向，为单位矢量，n=A/A其大小等于1。空矢（NullVector）：大小为零的矢量，或称零矢（ZeroVector），单位矢量（UnitVector）：大小为1的矢量。在直角坐标系中，用单位矢量i、j、k表征矢量分别沿x、y、z轴分量的方向。任意矢量n可表示为n=nxi+nyj+nzk或(nx,ny,nz)空间的一点P(X,Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(PositionVector)，它在直角坐标系中表示为r=Xi+Yj+Zk或(X,Y,Z,)P(X,Y,Z)zZyxXYOrazaxay直角坐标系中一点的投影ijkX、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个坐标轴的单位矢量i、j、k可以将矢量A表示成：A=Axi+Ayj+Azk矢量A的大小为A：A=(A2x+A2y+A2z)1/21.1.2矢量的加法和减法矢量相加满足平行四边形法则。矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和。矢量加法的结果仍是矢量。C=A+B=(Ax+Bx)i+(Ay+By)j+(Az+Bz)k1.1.3矢量的乘积矢量的乘积包括标量积和矢量积。1）标量积任意两个矢量A与B的标量积(ScalarProduct)是一个标量，它等于两个矢量的大小与它们夹角的余弦之乘积，如图所示，记为A·B=ABcosθBcosAB标量积例如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：i·j=j·k=k·i=0i·i=j·j=k·k=1任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表示为：A·B=AxBx+AyBy+AzBz标量积服从交换律和分配律，即A·B=B·AA·(B+C)=A·B+A·C例：(1,1,2)•(2,3,2)=1×2+1×3+2×2=92）矢量积任意两个矢量A与B的矢量积（VectorProduct）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图1所示，记为C=A×B=anABsinθan=aA×aB（右手螺旋）CBAanaBaAOC＝A×BBA(a)(b)图1-3矢量积的图示及右手螺旋(a)矢量积(b)右手螺旋矢量积又称为叉积(CrossProduct)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即A×B=-B×AA×(B+C)=A×B+A×C直角坐标系中的单位矢量有下列关系式：i×j=k,j×k=i,k×i=ji×i=j×j=k×k=0在直角坐标系中，矢量的叉积还可以表示为xyzxyzAAABBBijkAB=(AyBz-AzBy)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k结论矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边形法则任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢量的叉积是一个矢量如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两个矢量必然互相垂直如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然互相平行1.2矢量场1.2.1矢量场的矢量线矢量场空间中任意一点P处的矢量可用一个矢性函数A=A（P）来表示。直角坐标中，可以表示成如下形式：(,,)(,,)(,,)xyzAxyzAxyzAxyzAijk矢量线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。如电力线，磁力线等。矢量线方程：直角坐标系中，其表达式为：0AdrxyzdxdydzAAAd0Ar例:求矢量场A=xy2i+x2yj+zy2k的矢量线方程。解：矢量线应满足的微分方程为zydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221cyxxcz从而有解之即得矢量方程其中c1和c2是积分常数。1.2.2矢量场的通量及散度将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为dS，即ddSSnn是面元法线方向的单位矢量。A与面元dS的标量积称为矢量场A穿过dS的通量dcosAdSAS将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：如果曲面是一个封闭曲面，则cosssdAdSAScosssdAdSAS2、矢量场的散度xyzijk哈密顿（Hamilton）算子为了方便，引入一个矢性微分算子：在直角坐标系中称之为哈密顿算子，是一个微分符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函数A的点积为一标量函数。在直角坐标系中，散度的表达式可以写为：yxzxyzAAxyzxyzAAAAijkAijk结论divA是一标量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，即在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。当divA0，表示矢量场A在该点处有散发通量的正源，称为源点；divA0,表示矢量场A在该点处有吸收通量的负源，称为汇点；divA=0，矢量场A在该点处无源。divA≡0的场是连续的或无散的矢量场。3、高斯散度定理矢量场散度的体积分等于矢量场在包围该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的面积分.VSdVdAAS例:球面S上任意点的位置矢量为r=xi+yj+zk，求:sdrS解：根据高斯散度定理知sVddVrSr而r的散度为3zzyyxxr所以34svvddVdVRrSΑ1.2.2矢量场的环量及旋度1、环量的定义设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线，定义矢量场A环绕闭合路径l的线积分为该矢量的环量，记作矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入矢量场旋度的概念。若环量不等于0，则在L内必然有产生这种场的旋涡源，若环量等于0，则在L内没有旋涡源。coslldAdlAl矢量场的环量zxyOldlAPnPlS闭合曲线方向与面元的方向示意图2、矢量场的旋度1）旋度的定义设P为矢量场中的任一点，作一个包含P点的微小面元ΔS，其周界为l，它的正向与面元ΔS的法向矢量n成右手螺旋关系。当曲面ΔS在P点处保持以n为法矢不变的条件下，以任意方式缩向P点，取极限：limlSPdSAl若极限存在，则称矢量场A沿L正向的环量与面积ΔS之比为矢量场在P点处沿n方向的环量面密度，即环量对面积的变化率。必存在一个固定矢量R，它在任意面元方向上的投影就给出该方向上的环量面密度，R的方向为环量面密度最大的方向，其模即为最大环量面密度的数值。称固定矢量R为矢量A的旋度。旋度为一矢量。rotA=R旋度矢量在n方向上的投影为：直角坐标系中旋度的表达式为：rotxyzyyxxzzxyzAAAAAAAAAyzzxxyijkAAijk一个矢量场的旋度表示该矢量场单位面积上的环量，描述的是场分量沿着与它相垂直的方向上的变化规律。若旋度不等于0，则称该矢量场是有旋的，若旋度等于0，则称此矢量场是无旋的或保守的旋度的一个重要性质：任意矢量旋度的散度恒等于零，即▽·(▽×A)≡0如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可以用另一个矢量A的旋度来表示，即当▽·B=0则有B=▽×A3、斯托克斯定理矢量分析中另一个重要定理是rotlSddAlAS称之为斯托克斯定理，其中S是闭合路径l所围成的面积，它的方向与l的方向成右手螺旋关系。该式表明：矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于该矢量沿围绕此面积曲线边界的线积分。例：已知一矢量场F=xyi-zxj,试求：（1）该矢量场的旋度;（2）该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分，如图所示，验证斯托克斯定理。yBOxr＝3A四分之一圆盘rot220xxyzxyxijkFFk该矢量场的旋度为：矢量沿四分之一圆盘的线积分为：20032220=dddddsincos2cos912BABlABArrdFlFlFlFlFl矢量沿四分之一圆盘的面积分为：2300d2cosdd2cosdd912SSrrrrrrFSkkddlSFlFS显然有：例:求矢量场A=x(z-y)i+y(x-z)j+z(y-x)k在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2i+6j+3k方向的环量面密度。解：矢量场A的旋度rot()()()()()()AxyzxzyyxzzyxzyxzyxijkAijk在点M(1，0，1)处的旋度2MAi+j+kn方向的单位矢量22211(263)(263)7263nijkijk在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度7177327672nAM1.3标量场一个仅用大小就可以完整表征的场称为标量场等值面方向导数梯度1、等值面为考察标量场的空间分布，引入等值面的概念。一个标量场可以用一个标量函数来表示。例如，标量u是场中点M(x,y,z)的单值函数，它可表示为:u=u(x,y,z)而u=u(x,y,z)是坐标变量的连续可微函数，令u(x,y,z)=C随着C的取值不同，得到一组曲面。在每一个曲面上的各点，虽然坐标值不同，但函数值均为C。这样的曲面称为标量场u的等值面。温度场中的等值面，就是由温度相同的点所组成的等温面。如果某一标量物理函数u仅是两个坐标变量的函数，这种场称为平面标量场（即二维场），则u(x,y)=C（C为任意常数）称为等值线方程，它在几何上一般表示一组等值曲线。场中的等值线互不相交。如地图上的等高线，地面气象图上的等温线、等压线等等都是平面标量场的等值线的例子。2、方向导数为了研究标量函数在场中各点的邻域内沿每一方向的变化情况，引入方向导数。当上式极限存在，则称它为函数u(P)在点P0处沿l方向的方向导数。方向导数的计算公式：在直角坐标系中，设u=u(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)处可微，则有点P0至P点的距离矢量为若Δl与x,y,z轴的夹角分别为α,β,γ,则有：也称为l的方向余弦。代入后有：0()()uuuuuPuPxyzxyzcoscoscosuuuulxyzxyzlijkcos,cos,cosxlylzlliljlkcos,cos,cos例：求数量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为22)(0)(yxzzyx或例:求数量场在点M(1,1,2)处沿n=i+2j+2k方向的方向导数。解：n方向的方向余弦为z