221椭圆及其标准方程学案(人教A版选修2-1)

第1页共6页§2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课时目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．1．椭圆的概念：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．当|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|时，轨迹是______________，当|PF1|＋|PF2||F1F2|时__________轨迹．2．椭圆的方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为________________，焦点坐标为________________，焦距为____________；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为________________．一、选择题1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段2．椭圆x216＋y27＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为()A．32B．16C．8D．43．椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标是()A.0，±66B．(0，±1)C．(±1,0)D.±66，04．方程x2|a|－1＋y2a＋3＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．(－3，－1)B．(－3，－2)C．(1，＋∞)D．(－3,1)5．若椭圆的两焦点为(－2,0)，(2,0)，且该椭圆过点52，－32，则该椭圆的方程是()A.y28＋x24＝1B.y210＋x26＝1第2页共6页C.y24＋x28＝1D.y26＋x210＝16．设F1、F2是椭圆x216＋y212＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．直角三角形题号123456答案二、填空题7．椭圆x29＋y22＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．8．P是椭圆x24＋y23＝1上的点，F1和F2是该椭圆的焦点，则k＝|PF1|·|PF2|的最大值是______，最小值是______．9．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n千米，远地点距地面m千米，地球半径为R，那么这个椭圆的焦距为________千米．三、解答题10．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点－32，52.11．已知点A(0，3)和圆O1：x2＋(y＋3)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．第3页共6页能力提升13.如图△ABC中底边BC＝12，其它两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a|F1F2|时轨迹才是椭圆，如果2a＝|F1F2|，轨迹是线段F1F2，如果2a|F1F2|，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有ab0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1(m，n为不相等的正数)．§2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程知识梳理第4页共6页1．常数椭圆焦点焦距线段F1F2不存在2.x2a2＋y2b2＝1(ab0)F1(－c，0)，F2(c，0)2cy2a2＋x2b2＝1(ab0)作业设计1．D[∵|MF1|＋|MF2|＝6＝|F1F2|，∴动点M的轨迹是线段．]2．B[由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.]3．D4．B[|a|－1a＋30.]5．D[椭圆的焦点在x轴上，排除A、B，又过点52，－32验证即可．]6．D[由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.由题可得||PF1|－|PF2||＝2，则|PF1|＝5或3，|PF2|＝3或5.又|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．]7．2120°解析∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.在△F1PF2中，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F1PF2＝120°.8．43解析设|PF1|＝x，则k＝x(2a－x)，因a－c≤|PF1|≤a＋c，即1≤x≤3.∴k＝－x2＋2ax＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴kmax＝4，kmin＝3.9．m－n解析设a，c分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则a＋c＝m＋Ra－c＝n＋R，则2c＝m－n.10．解(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4.∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.第5页共6页故所求椭圆的标准方程为x225＋y29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．由椭圆的定义知，2a＝－322＋52＋22＋－322＋52－22＝3102＋102＝210，∴a＝10.又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y210＋x26＝1.11．解∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝234，∴点P的轨迹是以A、O1为焦点的椭圆，∴c＝3，a＝2，b＝1，∴动点P的轨迹方程为x2＋y24＝1.13．解以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示坐标系，则B(6,0)，C(－6,0)，CE、BD为AB、AC边上的中线，则|BD|＋|CE|＝30.由重心性质可知|GB|＋|GC|＝23(|BD|＋|CE|)＝20.∵B、C是两个定点，G点到B、C距离和等于定值20，且2012，∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，第6页共6页b2＝a2－c2＝102－62＝64，故G点的轨迹方程为x2100＋y264＝1，去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有x′2100＋y′264＝1.由重心坐标公式知x′＝x3，y′＝y3.故A点轨迹方程为x32100＋y3264＝1.即x2900＋y2576＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．