2.3随机变量的分布函数及其性质

为X的分布函数(c.d.f.).也常记为设X为r.v.,x是任意实数,称函数xxXPxF),()(一、定义)()(aFbF（]ab]]（])(bXaP)(aXP)(bXP注１．用分布函数计算X落在(a,b]里的概率：§2.3、随机变量的分布函数及其性质()XFx定理1.（分布函数的特征性质）(1)(非降性)F(x)是单调非降函数，即)()(,2121xFxFxx(3)(右连续性)F(x)右连续，即)()(lim)0(0xFtFxFxt0()1,Fxlim()0,xFx(2)(有界性)lim()1,xFx即F(+)=1,F(-)=0.证明（1）12xx2112()(){}0FxFxPxXx12()()FxFx（2）(){},FxPXx0()1Fx{}{1}nPXPnXn{(1)()}{(1)()}nnPXnPXnFnFnlim()lim()1nnFnFn0)(lim,1)(limxFxFxx（3）由于F(x)为单调非降函数，只须证明对于一列单调下降的数列12*nxxxx成立*lim()()nnFxFx1**11111()(){}{()}[()()]iiiiiiFxFxPxXxPxXxFxFx1()lim()nnFxFx*lim()()nnFxFx用分布函数表示概率)()()(aFbFbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP)0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请填空注2任一函数F(x)为分布函数的充分必要条件为：F(x)满足上述三条性质。注1分布函数也可定义为xXPxF)(应改为左连续性。这样定义的分布函数仍满足性质1－3，但性质3例F(x),G(x)为两个分布函数,,10)()1()(xGxF为一分布函数。证明例1设离散型随机变量X的概率分布为X01２P0.20.50.3（1）求X的分布函数F(x),并画出F(x)的图形；（2）求11PX}3{,XP二、举例,(){}0XxFxPXx解(1)由于X只可能取,0,1,2,故当x0时,当0≤x1时,当1≤x2时,当2≤x时,0,()0.2XxXFx1010XXXxX或7.0)(xXPxF,()1XxFxPXx从而归纳上述结果得0,00.2,01(){}0.7,121,2xxFxPXxxx0,10,0)(xxxU0.2()0.5(1)0.3(2)UxUxUx(2)11(1)(10)0.7PXFF{3}1PX或11{01}0.7PXPXor0.20.71满足分布函数的三条基本性质。一般地，若离散型随机变量X的分布律为,2,1,)(kpxXPkk从图形上可以看出F(x)的单调非降右连续的函数，Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…0100)(xxxUxxiixx其中表示对满足的一切下标i求和。称为单位阶梯函数，也称为Heavyside函数。则其分布函数为1)(}{)(iiixxixxUppxXPxFi值得注意的是,F(x)是(-,+)上的分段阶梯函数,开区间外,其余各段都是左闭右开的区间.间断点就是随机变量X的取值点,除最左边那段是1)(CXP)(10)(cxUcxcxxF特别地，若随机变量以概率1取常数，即则称这个分布为单点分布或退化分布，它的分布函数为例2向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点,以X表示该质点到圆心的距离.设这个质点落在D中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比,试求X的分布函数.xX0)(xXPxFxXxX02()FxPXxkx,()1XxFxPXx解当x0时,当0≤x≤1,可得其中k为比例常数,又因为P{0X1}=1,故k=1.当x1时,综上所述,X的分布函数为111000)(2xxxxxF11总结一、定义二、举例若离散型随机变量X的分布律为,2,1,)(kpxXPkk0100)(xxxU则其分布函数为1)(}{)(iiixxixxUppxXPxFi称为单位阶梯函数.