2003年数学真题及其解析二

12003年考研数学（二）真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）若0x时，1)1(412ax与xxsin是等价无穷小，则a=-4.【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知1sin)1(lim4120xxaxx，反过来求a.注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】当0x时，241241~1)1(axax，2~sinxxx.于是，根据题设有14141limsin)1(lim2204120axaxxxaxxx，故a=-4.【评注】本题属常规题型，完全类似例题见《数学复习指南》P.38【例1.62】.（2）设函数y=f(x)由方程4ln2yxxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是x-y=0.【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】等式4ln2yxxy两边直接对x求导，得yyxyxy342，将x=1,y=1代入上式，有.1)1(y故过点(1,1)处的切线方程为)1(11xy，即.0yx【评注】本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见《数学复习指南》P.55【例2.13】和【例2.14】.（3）xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是!)2(lnnn.【分析】本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值)0()(nf，则麦克劳林公式中nx项的系数是.!)0()(nfn【详解】因为2ln2xy，2)2(ln2xy，nxxy)2(ln2,)(，于是有2nny)2(ln)0()(，故麦克劳林公式中nx项的系数是.!)2(ln!)0()(nnynn【评注】本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案.（4）设曲线的极坐标方程为)0(aea，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为)1(414aea.【分析】利用极坐标下的面积计算公式dS)(212即可.【详解】所求面积为dedSa20220221)(21=20241aea)1(414aea.【评注】本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算过程比较复杂.完全类似例题见《数学复习指南》P.200【例7.38】.（5）设为3维列向量，T是的转置.若111111111T，则T=3.【分析】本题的关键是矩阵T的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】由111111111T=111111，知111，于是.3111111T【评注】一般地，若n阶矩阵A的秩为1，则必有.2121nnbbbaaaA完全类似例题见《数学复习指南》P.389【例2.11】和《考研数学大串讲》P.162【例13】.3（6）设三阶方阵A,B满足EBABA2，其中E为三阶单位矩阵，若102020101A，则B21.【分析】先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】由EBABA2知，EABEA)(2，即EABEAEA))((，易知矩阵A+E可逆，于是有.)(EBEA再两边取行列式，得1BEA，因为2002010100EA,所以B21.【评注】本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应先化简再计算.完全类似例题见《考研数学大串讲》P.160【例11】.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有(A)nnba对任意n成立.(B)nncb对任意n成立.(C)极限nnncalim不存在.(D)极限nnncblim不存在.[D]【分析】本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限nnncalim是0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限nnncblim属1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】用举反例法，取nan2，1nb，),2,1(21nncn，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.（2）设dxxxannnnn123101,则极限nnnalim等于4(A)1)1(23e.(B)1)1(231e.(C)1)1(231e.(D)1)1(23e.[B]【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为dxxxannnnn123101=)1(12310nnnnxdxn=}1])1(1{[1)1(1231023nnnnnnnxn，可见nnnalim=.1)1(}1])1(1{[lim23123ennnn【评注】本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法.（3）已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为（A）.22xy(B).22xy(C).22yx(D).22yx[A]【分析】将xxyln代入微分方程，再令的中间变量为u，求出)(u的表达式，进而可计算出)(yx.【详解】将xxyln代入微分方程)(yxxyy，得)(lnln1ln1ln2xxxx，即xx2ln1)(ln.令lnx=u，有21)(uu，故)(yx=.22xy应选(A).【评注】本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项.（4）设函数f(x)在),(内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有5(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[C]yOx【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(xf的图象，本题是其逆问题.完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.（5）设401tandxxxI,dxxxI402tan,则(A).121II(B).121II(C).112II(D).112II[B]【分析】直接计算21,II是困难的，可应用不等式tanxx,x0.【详解】因为当x0时，有tanxx，于是1tanxx，1tanxx，从而有4tan401dxxxI，4tan402dxxxI，可见有21II且42I，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).【评注】本题没有必要去证明11I，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B)一定为正确选项.（6）设向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则6(A)当sr时，向量组II必线性相关.(B)当sr时，向量组II必线性相关.(C)当sr时，向量组I必线性相关.(D)当sr时，向量组I必线性相关.[D]【分析】本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则当sr时，向量组I必线性相关.或其逆否命题：若向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，且向量组I线性无关，则必有sr.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】用排除法：如10,01,00211，则21100，但21,线性无关，排除(A)；01,01,00121，则21,可由1线性表示，但1线性无关，排除(B)；10,01,01211，1可由21,线性表示，但1线性无关，排除(C).故正确选项为(D).【评注】本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见《数学复习指南》P.409定理11.三、（本题满分10分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin)1ln()(23xxxxxaxxexxaxxfax问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即).00()0()00(fff【详解】xxaxxxaxxffxxxarcsinlimarcsin)1ln(lim)(lim)00(30300=113lim1113lim220220xaxxaxxx7=.6213lim220axaxx4sin1lim)(lim)00(200xxaxxexffaxxx=.4222lim41lim420220axaxaexaxxeaxxaxx令)00()00(ff，有4262aa，得1a或2a.当a=-1时，)0(6)(lim0fxfx，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，)0(12)(lim0fxfx，因而x=0是f(x)的可去间断点.【评注】本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化.完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P.22【例1.38-39】,《考研数学大串讲》P.15【例23】，《文登数学全真模拟试卷》数学二P.3第四题.四、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln2112tduueytxtu所确定，求.922xdxyd【分析】本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可.注意当x=9时，可相应地确定参数t的取值.【详解】由tetttedtdytln2122ln21ln21，tdtdx4，得,)ln21(24ln212tettetdtdxdtdydxdy所以dtdxdxdydtddxyd1)(22=ttte412)ln21(122=.)ln21(422tte8当x=9时，由221tx及t1得t=2,故.)2ln21(16)ln21(42222922ettedxydtx【评注】完全类似例题见《数学复习指