2003年量子力学期末试题及答案

2003年量子力学期末试题及答案一、（20分）在0t时刻，氢原子处于状态)(21)(31)(21)0,(321rrrCr式中，)(rn为氢原子的第n个能量本征态。计算0t时能量的取值几率与平均值，写出0t时的波函数。解：氢原子的本征解为22412neEn,YlmnlnlmrRr其中，量子数的取值范围是,3,2,1n；1,,2,1,0nl，llllm,1,,1,由波函数归一化条件可知归一化常数为2321312121C不为零的能量取值几率为8331EWEW；412EW能量平均值为24242314823414191183241)(83eeEEEE当0t时，波函数为tErtErtErtr332211iexp83iexp21iexp83,二、（20分）设粒子处于一维势阱之中axaxVxxV,00,0,)(0式中，00V。导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的0V值。解：对于0E的情况，三个区域中的波函数分别为xBxkxAxxexpsin0321其中，EmVEmk2;)(20利用波函数再0x处的连接条件知，n，,2,1,0n在ax处，利用波函数及其一阶导数连续的条件aaaa'3'232得到aBnkaAkaBnkaAexpcosexpsin于是有kkatan此即能量满足的超越方程。由于，余切值是负数，所以，角度ka在第2、4象限。超越方程也可以改写成akkaka0sin式中，002Vk因为，1sinka，所以，若要上式有解，必须要求kaak0当2ka时，1sinka，于是，有2200Vaak整理之，得到22208aV三、（20分）在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为22221ˆ21ˆxmpmH在动量表象中，该哈密顿算符为22222222dd2121ddi2121ˆpmpmxmpmH由于动量的本征函数为'pp，故哈密顿算符的矩阵元为'''2''2222''''22222'dd2121ddd2121'''pppmpmppppmpmppHpp四、（20分）设两个自旋为21非全同粒子构成的体系，哈密顿量21ˆˆˆssCH，其中，C为常数，1ˆs与2ˆs分别是粒子1和粒子2的自旋算符。已知0t时，粒子1的自旋沿z轴的负方向，粒子2的自旋沿z轴的正方向，求0t时测量粒子1的自旋处于z轴负方向的几率和粒子2的自旋处于z轴负方向的几率。解：体系的哈密顿算符为2221221ˆˆˆ2ˆˆˆsssCssCH选择耦合表象，由于1,0s，故四个基底为111；112；103；004在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即30000100001000014ˆ2CH可以直接写出它的解为214CE，111224CE，112234CE，211032443CE，21004已知0t时，体系处于0010210因为哈密顿算符不显含时间，故0t时刻的波函数为tCtCEEt43iexp214iexp2100iexp10iexp2143粒子1处于z轴负方向的几率为tCtCtCtCtCtttsWz2cos2iexp2iexp2143iexp4iexp21,2222221而粒子2处于z轴负方向的几率为tCtCtCtCtCtttsWz2sin2iexp2iexp2143iexp4iexp21,2222222五、（20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为xVpH2ˆˆ20时，能量本征值与本征矢分别为0nE与n，如果哈密顿算符变成pHHˆˆˆ0（为实参数）时，（1）利用费曼－海尔曼定理求出严格的能量本征值。（2）若1，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。解：首先，利用费因曼－赫尔曼定理求出严格的能量本征值。视为参变量，则有pHˆˆ利用费因曼-赫尔曼定理可知npnnHnEnˆ1ˆ又知pppxHxtxˆ1ˆ2ˆ,i1ˆ,i1dd2在任何束缚态n下，均有0ˆˆi1ˆ,i1ddnxHHxnnHxnntxn所以，npnˆ进而得到能量本征值满足的微分方程nE对上式作积分，得到cEn22利用0时，0ˆˆHH，定出积分常数0nEc最后，得到Hˆ的本征值为220nnEE其次，用微扰论计算能量的近似解。已知0ˆH满足的本征方程为nEnHn00ˆ由pHxˆˆ,i10可知mnmnmnxEEp00i第k个能级的一级修正为01kkkkkpWE能量的二级修正为2002200000022002iinkknknknnknknkknknknnknkknkxEEEExEExEEEEWWE为了求出上式右端的求和项，在0H表象下计算20000iinnkknnnknkknnnkknkkxEExEExpxxp可以证明，对于任意实束缚态波函数k，有i21kkxp于是，得到22200nkknknxEE得到2222222kE近似到二级的解为220kkEE