2005年GCT考试真题参考答桉(数学)

2005年在职攻读硕士学位全国联考A研究生研究生入学资格考试试卷第二部分数学基础能力测试（答案）（25题，每题4分，共100分）1.1111111111111111234567890.10.20.30.40.50.60.70.80.9的值是（）。A.281B.29C.92D.812分析：分子919887766554433221，分母2910987654321，所以正确选项为A。2.设p为正数，则299()xpx。A.9(11)xx（）B.9(11)xx（）C.9(11)xx（）D.9(11)xx（）分析：由于9920)11)(9(2xxxx，992)11)(9(2xxxx，992)11)(9(2xxxx，9920)11)(9(2xxxx，根据题意便知正确选项为C。3.在四边形ABCD中对角线AC，BD垂直相交于O点。若AC=30，BD=36，则四边形ABCD的面积为（）。A.1080B.840C.720D.540分析：如图，易知四边形ABCD的面积等于ABD与CBD的面积之和，其值为54036302121BDAC，即正确选项为D。4.某项工程8个人用35天完成了全工程量的13，如果再增加6个人，那么完成剩余的工程ABCD还需要的天数是（）。A.18B.35C.40D.60分析：设完成剩余的工程还需要的天数是x，则x)68(21358，故40x，即正确选项为C。5.已知510xyzy且，则222()xyzxyyzzx。A.50B.75C.100D.105分析：由于10,5yzyx，所以5xz，从而75])()()[(21222222xzyzyxzxyzxyzyx，故正确选项为B。6.2005年，我国甲省人口是全国人口的c%，其生产总值占国内生产总值的d%；乙省人口是全国人口的e%，其生产总值占国内生产总值的f%，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（）。A.cdefB.cedfC.cfdeD.decf分析：设全国人口为p，国内生产总值为h，则甲省人均生产总值为cpdh，乙省人均生产总值为epfh，所以甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是cfde，即正确选项为D。7.复数2(1)()ziz的模。A.4B.22C.2D.2分析：因为21i，所以21)1(22ii，即正确选项为C。8.三个不相同的非0实数,,abc成等差数列，又bca,,恰成等比数列，则ab等于（）。A.4B.2C.-4D.-2分析：根据条件可知abccab2,2，从而2)(bcba，bcbcbcba2)(2，由于1bc，所以2bc，4ba，即正确选项为A。注：本题根据0ba，0bc及bcba2可直接用排除法得到正确选项A。9.任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（）。A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4分析：当所取正整数的各位数是2或8时，其平方数的末位数字就是4，所有正整数的各位数只有1，2，3，4，5，6，7，8，9，0等十种可能，所以要求的概率是2.0102，即正确选项为B。10.一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如右图所示（单位：分米）。若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（）次。A.6B.8C.12D.16分析：甲容器的容积是12，乙容器的容积是32，所以若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水8次，即正确选项为B。11.在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6。过C点以C到AB的距离为直径作一圆，该圆与AB有公共点，且交AC于M，交BC于N，则MN等于（）。A.334B.445C.172D.1133分析：如图，根据条件可知ACB是直角三角形，由于ＣＰ是圆的直径，所以圆周角ＣＭＰ和ＣＮＰ都是直角，从而ＭＮ和ＣＰ都是正方形ＭＣＮＰ的对角线，所以5441068CPMN，故正确选项为Ｂ。12.已知210,cos2aaa，则cos6的值是（）。A.32B.12C.12D.32分析：由于当1a时，1212aa，这与aa21cos2矛盾，所以1cos,1a，从而23)6cos(，即正确选项为Ａ。ＡＣＢＭＮＰ13.已知p为反比例函数2yx图像上的一点，过p分别作两坐标轴的平行线，交Ox轴于M，交Oy轴于N，则MPN的面积为（）。A.2B.1C.22D.24分析：如图，MPN的面积为22221xx，即正确选项为C。14.设一个圆的圆心为p6,m，该圆与坐标轴交于A0,4，B0,12两点，则p到坐标原点的距离是（）。A.213B.8C.10D.102分析：由于AB是圆的一条弦，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，从而8)124(21m。p到坐标原点的距离是10)8(622，即正确答案为C。15.已知tan1，若圆22cossin1xy的圆心在第四象限，则方程22cossin20xy的图形是（）。A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.直线分析：由于圆22cossin1xy的圆心在第四象限，所以0sin,0cos，从而22cossin20xy的图形是一个椭圆，即正确选项为B。16.设函数fx的定义域是0,1，则函数1sin11cosgxxfxxfx的定义域是（）。A.1xB.01xC.0.5xD.0.51xＰＭＮ分析：考虑1cos10,1sin0,01,01xxxx得,0cos1,1sin0,11xxx解得15.0x。即正确选项为D。17.函数12xxfxxx在,上有（）。A.1条垂直渐进线，1条水平渐进线B.1条垂直渐进线，2条水平渐进线C.2条垂直渐进线，1条水平渐进线D.2条垂直渐进线，2条水平渐进线分析：因为1)(lim,1)(lim,)(lim,)(lim21xfxfxfxfxxxx，所以曲线)(xfy在,上有2条垂直渐进线，2条水平渐进线。即正确选项为D。18.设fx在点0x处可导，且121,2,3,,fnnn则0f=（）。A.0B.1C.2D.3分析：因为fx在点0x处可导，所以其在点0x处连续，从而02lim)1(lim)0(nnffnn，21)0()1(lim)0(nfnffn。即正确选项为C。19.若fx的二阶导数连续，且lim1xfx，则对任意常数a必有limxfxafx=（）。A.aB.1C.0D.afa分析：根据微分中值定理可知，存在介于x和ax之间的使得afxfaxf)()()(。由于lim1xfx，所以aafxfaxfxx)(lim)]()([lim。即正确选项为A。20.设2lnxx是fx的一个原函数，则不定积分()xfxdx=（）。A.3321ln39xxxCB.22lnxxxCC.22lnxxxCD.322lnxxxC分析：由于Cxxdxxfxxxxxxfln)(,ln2ln)(22，所以Cxxxdxxfxxfdxxfx22ln)()()(。即正确选项为C。21.设连续函数yfx在0,a内严格单调递增，且00f，faa，若gx是fx的反函数，则0afxgxdx=()。A.22fagaB.2faC.02afxdxD.02agxdx分析：如图，根据定积分的几何意义可知：BdxxgdyygAdxxfaaa000)()(,)(，所以)()]()([220afaBAdxxgxfa。即正确选项为B。22.设向量10211，21111，31100，40011，则向量组1234,,,的一个极大线形无关组是（）。A.34,B.1234,,,C.123,,D.124,,分析：因为110000001111112011001120111111201100001111111120，所以向量组1234,,,的一个极大线形无关组是124,,。即正确选项为D。aaAB)(xfy23.设A=311201112，则A的对应于特征值2的一个特征向量是（）。A.101B.110C.011D.110分析：因为1012334101211102113，0112224011211102113，1102310110211102113，0112022011211102113，所以A的对应于特征值2的一个特征向量是110。即正确选项为D。24.已知X为n维单位列向量，TX为X的转置，nE为单位矩阵，若G=TXX，则2G等于（）。A.GB.GC.1D.nE分析：GXXXXXXXXXXGTTTTT)(2，即正确选项为A。25.设,,abc是方程3240xx的三个根，则行列式abcbcacab的值等于（）。A.1B.0C.-1D.-2分析：根据题意可知abcxcabcabxcbaxcxbxaxxx)()())()((42233，所以4,0abccba，从而,0)444(12)]2()2()2[(33333333ccbbaaabccbaabcbacacbcba即正确选项为B。