2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案

2005年全国初中数学联赛初赛试卷一、选择题1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是【】（A）a＞ba2＞b2;(B)a≠ba2≠b2;(C)|a|＞ba2＞b2;(D)a＞|b|a2＞b22、已知：a＋b＋c＝3,a2＋b2＋c2＝3,则a2005＋b2005＋c2005的值是【】（A）0(B)3(C)22005(D)3·220053、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有【】块。(A)16(B)18(C)20(D)224、在Rt△ABC中，斜边AB＝5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x＋4(m－1)＝0的两根，则m的值是【】（A）4（B）－1（C）4或－1（D）－4或15、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y＝x－3与y＝kx＋k的交点为整数时，k的值可以取【】（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个6、如图，直线x＝1是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴，则有【】（A）a＋b＋c＝0（B）b＞a＋c（C）c＞2b（D）abc＜0二、填空题7、已知：x为非零实数，且axx2121,则2x1x＝_____________。8、已知a为实数，且使关于x的二次方程x2＋a2x＋a＝0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.9、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则∠PQC＝_________.10、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n＝a＋b＋ab,则称n为一个“好数”，例如:3＝1＋1＋1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有_______个。解答题三、设A、B是抛物线y＝2x2＋4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标。四、如图，AB是⊙o的直径，AB＝d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC＝AB，连结OC叫⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。五、设x＝a＋b－c,y＝a＋c－b,z＝b＋c－a,其中a、b、c是待定的质数，如果x2＝y,zy＝2,试求积abc的所有可能的值。2005年全国初中数学联赛初赛试卷参考答案1、D2、B3、C4、A5、C6、C1、略2、222111abc＝222230abcabc∴a＝b＝c＝1于是2005200520053abc∴选B3、设白皮有x块，因为正六边形白皮中有3边是正五边形黑皮的边，所以，31215x，x＝20选C4、设方程的根为12,xx，依题意222121212252xxxxxx＝22181mm即2340mm解得m＝4或-1但12,xx0，2m-10所以m0故m＝4选A5、由题意可知，x–3＝k（x+1），所以K＝34111xxx但k为整数，于是x+1＝±1，±2，±4，k可取6个值，选C6、当x＝1时，y＝a+b+c0；当x＝-1时，y＝a-b+c0排除A、B。又易知a0b0，c0，有abc0，排除D。故选C二、21.2;a322.23、0454、12详解：1、由1212xxa两边平方得12xxa故21212xxxax2、a为实数，当0a时，关于a的二次方程220xaax有实根，于是140x322x。当a＝0时，x＝0综上，322x2、连结OC，因PC与⊙O相切与点C，则OCPCOAOC12OACOCAPOC12APQCPQAPC又故0011904522PQCPACAPQPOCAPC4、11(1)(1)nababab为合数，所求的n即为2~~~21之间的合数少1的数。2~~21之间的合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、1、20、21共12个，故所求的n有12个。为3、5、7、8、9、10、11、13、14、15、17、19、20。三、解：设Ａ点的坐标是（a，b），则因为原点是ＡＢ的中点，故A和B是关于原点的对称的，即B点的坐标是（-a，-b）………………………..5分A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线的解析式，得22242242...............10baabaa分解之得：a＝1b＝4或a＝-1b＝-4…………15分故A点的坐标为（1，4）或（-1，-4），B点的坐标为（1，4）或（-1，-4）……20分四、解：如图，连结AD则1234CDECAD有CDCADEAD⑴…………….5分又ADEBDAAEABDEAD（2）……….10分由（1）、（2）及AB＝AC得AE＝AC…….15分又1A知CD是⊙ADE的切线22CDCECACECA即AE……20分令AE＝x，则CE＝d-x，于是有2220xddxxdxd即解此方程并取正根，得AE＝x＝512d……25分五、解：因为a+b+c-c＝x,a+c-b＝y,b+c-a＝z,联列解得（a,b,c）＝(111,,222xyxzyz)………5分又2yx，于是有：21,2axx（1）21,2bxz（2）21,2cxz（3）由（1）解得x＝1182a（4）因x是整数，得218aT，其中T是正奇数，……10分于是，11222TTa又a是质数，故只能有12Ta122T所以T＝3，a＝3……………….15分代a＝3入（4）得x＝2，-3当x＝2时，y＝2x＝4，因而有22,16zz，代人（2）、（3）得b＝9，c＝10，与b、c是质数矛盾，应舍去….20分当x＝-3时，y＝9，32,z所以z＝25代入（2）、（3）得b＝11，c＝17故abc＝31117561………….25分参考解答及评分标准一、选择题（每小题7分，共计42分）1、D2、B3、C4、A5、C6、C二、填空题（每小题7分，共计28分）1、a2－22、3223、45°4、12三、解：∵原点是线段AB的中点点A和点B关于原点对称设点A的坐标为（a，b），则点B的坐标为（―a，―b）……5分又A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：22242242baabaa…………………………10分解之得：a＝1,b＝4或者a＝－1,b＝－4…………………15分故A为（1，4），B为（-1，-4）或者A（-1，-4），B（1，4）.……20分四、解：如图连结AD，则∠1＝∠2＝∠3＝∠4∴ΔCDE∽ΔCAD∴T1T122CDCADEAD①………………5分又∵ΔADE∽ΔBDA∴AEABDEAD②………………10分由①、②及AB＝AC，可得AE＝CD…………15分又由ΔCDE∽ΔCAD可得CDCECACD，即AE2＝CD2＝CE·CA…………20分设AE＝x，则CE＝d－x，于是x2＝d(d－x)即有AE＝x＝51d2（负值已舍去）……………………25分BAOEDC4321五、解：∵a＋b－c＝x,a＋c－b＝y,b＋c－a＝z,∴a＝1(xy)2,b＝1(xz)2,c＝1(yz)2…………………5分又∵y＝x2,故a＝21(xx)2---(1);b＝1(xz)2-----(2)c＝21(xz)2----(3)∴x＝11+8a2---------------(4)∵x是整数，得1＋8a＝T2，其中T是正奇数。………………10分于是，2a＝T1T122，其中a是质数，故有T12＝2,T12＝a∴T＝5,a＝3……………………15分将a＝3代入（4）得x＝2或－3.当x＝2时，y＝x2＝4,因而z－2＝2，z＝16，代入（2）、（3）可得b＝9，c＝10，与b、c是质数矛盾，当舍去。……………………20分当x＝－3时，y＝9.z－3＝2,∴z＝25代入（2）、（3）可得b＝11，c＝17∴abc＝3×11×17＝561……………………………25分