(14)用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例

1课时作业(十四)[第14讲用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．函数y＝lnxx的最大值为()A.1eB．eC．e2D.1032．已知x≥0，y≥0，x＋3y＝9，则x2y的最大值为()A．36B．18C．25D．423．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出：y＝－18t3－34t2＋36t－6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A．6时B．7时C．8时D．9时4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.4VB．23VC.34VD.12V能力提升5．已知函数f(x)＝1－xx＋lnx，则f(x)在12，2上的最大值和最小值之和是()A．0B．1－ln2C．ln2－1D．1＋ln26．函数f(x)＝2x3＋3x2＋1x≤0，eaxx0在[－2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是()A.ln22，＋∞B.0，ln22C．(－∞，0]D.－∞，ln227．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10km时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则使行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为()A．20km/hB．25km/hC．19km/hD．18km/h图K14－18．今有一块边长为a的正三角形的厚纸，从这块厚纸的三个角，按图K14－1那样切下三个全等的四边形后，做成一个无盖的盒子，要使这个盒子容积最大，x值应为()A．aB.2a3C.a2D.a69．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为：p＝24200－15x2，且生产xt的成本为R＝50000＋200x(元)．则该厂每月生产________t产品才能使利润达到最大．(利润＝收入－成本)210．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．图K14－211．如图K14－2，用半径为R的圆铁皮，剪一个圆心角为a的扇形，制成一个圆锥形的漏斗，则圆心角a取________时，漏斗的容积最大．12．(13分)甲、乙两村合用一个变压器，如图K14－3所示，若两村用同型号线架设输电线路，问：变压器设在输电干线何处时，所需电线最短？图K14－3难点突破13．(12分)广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得的加工费近似地为12ln(2x＋1)万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万美元(其中m为该时段美元的贬值指数，m∈(0,1))，从而实际所得的加工费为f(x)＝12ln(2x＋1)－mx(万美元)．(1)若某时期美元贬值指数m＝1200，为确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应在什么范围内？(2)若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为120x万美元，已知该企业加工生产能力为x∈[10,20](其中x为产品订单的金额)，试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．3课时作业(十四)【基础热身】1．A[解析]令y′＝lnx′x－lnx·x′x2＝1－lnxx2＝0，得x＝e，当xe时，y′0；当xe时，y′0，故y极大值＝f(e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝1e.2．A[解析]令f(x)＝x2y＝x23－x3，x∈[0,9]，令f′(x)＝6x－x2＝0，得x＝0或x＝6，可以验证x＝6时f(x)有最大值36.3．C[解析]y′＝－38t2－32t＋36＝－38(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8，当6≤t8时，y′0，当8t9时，y′0，∴当t＝8时，y有最大值．4．C[解析]设底面边长为x，则高为h＝4V3x2，∴S表＝3×4V3x2·x＋2×34x2＝43Vx＋32x2，∴S′表＝－43Vx2＋3x，令S′表＝0，得x＝34V.经检验知，当x＝34V时S表取得最小值．【能力提升】5．B[解析]对f(x)求导得f′(x)＝x－1x2.(1)若x∈12，1，则f′(x)0；(2)若x∈(1,2]，则f′(x)0，故x＝1是函数f(x)在区间12，2上的唯一的极小值点，也就是最小值点，故f(x)min＝f(1)＝0；又f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2，所以f12－f(2)＝32－2ln2＝lne3－ln162，因为e32.73＝19.68316，所以f12－f(2)0，即f12f(2)，即函数f(x)在区间12，2上最大值是f12.综上知函数f(x)在区间12，2上最大值是1－ln2，最小值是0.即f(x)在12，2上的最大值和最小值之和是1－ln2.6．D[解析]当x≤0时，f′(x)＝6x2＋6x，函数的极大值点是x＝－1，极小值点是x＝0，当x＝－1时，f(x)＝2，故只要在(0,2]上eax≤2即可，即ax≤ln2在(0,2]上恒成立，即a≤ln2x在(0,2]上恒成立，故a≤ln22.7．A[解析]设船速度为x(x0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得k＝3500，∴Q＝3500x3，4∴总费用y＝3500x3＋96·1x＝3500x2＋96x，y′＝6500x－96x2，令y′＝0得x＝20，当x∈(0,20)时，y′0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′0，此时函数单调递增，∴当x＝20时，y取得最小值，∴此轮船以20km/h的速度行驶每千米的费用总和最小．8．D[解析]折成盒子后底面正三角形的边长为a－2x0xa2，高为h＝x·tan30°＝33x，设容积为V，则V＝Sh＝12(a－2x)2sin60°·33x，＝x3－ax2＋a24x，V′＝3x2－2ax＋a24，令V′＝0得x＝a6或x＝a2(舍去)，当0xa6时，V′0；当a6xa2时，V′0.∴x＝a6时，V最大＝a3216－a336＋a324＝4a3216＝a354.9．200[解析]每月生产x吨时的利润为f(x)＝24200－15x2x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0)．由f′(x)＝－35x2＋24000＝0得x1＝200，x2＝－200，舍去负值．f(x)在[0，＋∞)内有唯一的极大值点，也是最大值点．10.32R[解析]设圆内接等腰三角形的底边长为2x，高为h，那么h＝R＋R2－x2，解得x2＝h(2R－h)，于是内接三角形的面积为S＝x·h＝2Rh－h2·h＝2Rh3－h4，从而S′＝12(2Rh3－h4)－12(2Rh3－h4)′＝12(2Rh3－h4)－12(6Rh2－4h3)＝h23R－2h2R－hh3，令S′＝0，解得h＝32R，由于不考虑不存在的情况，所以在区间(0,2R)上列表如下：h0，32R32R32R，2RS′＋0－S增函数最大值减函数由此表可知，当x＝32R时，等腰三角形面积最大．11.263π[解析]解法一：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么由r2＋h2＝R2，Ra＝2πr，代入V＝13πr2h，得V＝13π·Ra2π2·R2－Ra2π2＝R312π·a4－a64π2，再令T(a)＝a4－a64π2，求它的导数得T′(a)＝4a3－3a52π2，令T′(a)＝0.即4a3－3a52π2＝0，求得a＝263π，5检验，当0a236π时，T′(a)0；当263πa2π时，T′(a)0，所以当a＝263π时，T(a)取得极大值，并且这个极大值就是最大值，且T(a)取得最大值时，V也就取得最大值，所以当a＝263π时，漏斗的容积最大．解法二：设圆锥的底面半径为r，高为h，体积为V，那么r2＋h2＝R2，因此V(r)＝13πr2h＝13πr2·R2－r2＝13πR2r4－r6(0rR)．令T(r)＝R2r4－r6，求它的导数T′(r)＝4R2r3－6r5.再令T′(r)＝0，即4R2r3－6r5＝0，求得r＝63R，可以检验当r＝63R时，T(r)取得最大值，也就是当r＝63R时，V(r)取得最大值．再把r＝63R代入Ra＝2πr得a＝263π.所以当a＝263π时，漏斗的容积最大．12．[解答]设CD＝x(km)，则CE＝3－x(km)．由题意知所需输电线的长l为：l＝AC＋BC＝1＋x2＋1.52＋3－x2(0≤x≤3)，l′＝2x21＋x2＋－23－x21.52＋3－x2，令l′＝0，得x1＋x2－3－x1.52＋3－x2＝0，即x1＋x2＝3－x1.52＋3－x2，平方得x21＋x2＝3－x21.52＋3－x2，1．52x2＋x2(3－x)2＝(3－x)2＋x2(3－x)2，1．52x2＝(3－x)2,1.5x＝3－x，2．5x＝3，x＝1.2，故当CD＝1.2(km)时所需输电线最短．【难点突破】13．[解答](1)由已知m＝1200，f(x)＝12ln(2x＋1)－x200，其中x0，∴f′(x)＝12x＋1－1200＝199－2x2002x＋1.由f′(x)0，即199－2x0，解得0x99.5，即加工产品订单金额x∈(0,99.5)(单位：万美元)，该企业的加工费随x的增加不断增长．(2)依题设，企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10,20]时，都有12ln(2x＋1)－mx≥120x，由12ln(2x＋1)－mx≥120x，得120＋m≤ln2x＋12x.令g(x)＝ln2x＋12x，x∈[10,20]，则g′(x)＝22x＋1·x－ln2x＋12x2＝2x－2x＋1ln2x＋12x22x＋1.令h(x)＝2x－(2x＋1)ln(2x＋1)，则h′(x)＝2－2ln2x＋1＋2x＋122x＋1＝－2ln(2x＋1)0，6可知h(x)在[10,20]上单调递减．从而h(20)≤h(x)≤h(10)，又h(10)＝20－21ln2121(1－ln21)0.故可知g(x)在[10,20]上单调递减，因此g(x)min＝ln4140，即m≤ln4140－120.故当美元的贬值指数m∈0，ln41－240时，该企业加工生产不会亏损．