(2013春季发行)高三数学第一轮总复习6-3等比数列新人教A版

16-3等比数列基础巩固强化1.(2012·哈尔滨质检)已知等比数列{an}中，a5，a95为方程x2＋10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80的值为()A．256B．±256C．64D．±64[答案]D[解析]由韦达定理可得a5a95＝16，由等比中项可得a5a95＝(a50)2＝16，故a50＝±4，则a20a50a80＝(a50)3＝(±4)3＝±64.2．(2012·沈阳质检)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则该数列的通项an＝()A．4×(23)n－1B．4×(23)nC．4×(32)nD．4×(32)n－1[答案]D[解析]据前三项可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，故等比数列的首项为4，q＝a2a1＝32，故an＝4×(32)n－1.3．(文)(2011·青岛一模)在等比数列{an}中，若a2＝9，a5＝243，则数列{an}的前4项和为()A．81B．120C．168D．192[答案]B[解析]设等比数列{an}的公比为q，根据题意及等比数列的性质可知：a5a2＝27＝q3，所以q＝3，所以a1＝a2q＝3，所以S4＝－341－3＝120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{1an}的前5项和为()A.8532B.3116C.158D.8522[答案]B[解析]∵9S3＝S6，∴8(a1＋a2＋a3)＝a4＋a5＋a6，∴8＝q3，∴q＝2，∴an＝2n－1，∴1an＝(12)n－1，∴{1an}的前5项和为1－1251－12＝3116，故选B.4．(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1、S3、S2成等差数列，则{an}的公比等于()A．1B.12C．－12D.1＋52[答案]C[解析]2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a1q＋a1q2)＝a1＋a1＋a1q，得q＝－12，故选C.5．(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则数列{an}的奇数项的前n项和为()A.2n＋1－13B.2n＋1－23C.22n－13D.22n－23[答案]C[解析]当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.∴an＝2n－1(n∈N*)，则数列{an}的奇数项的前n项和为1－22n1－22＝22n－13，故选C.(理)(2011·泉州市质检)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则项数n为()A．12B．14C．15D．16[答案]D3[解析]a5＋a6＋a7＋a8a1＋a2＋a3＋a4＝q4＝2，由a1＋a2＋a3＋a4＝1.得a1(1＋q＋q2＋q3)＝1，即a1·1－q41－q＝1，∴a1＝q－1，又Sn＝15，即a1－qn1－q＝15，∴qn＝16，又∵q4＝2，∴n＝16.故选D.6．(2011·安徽皖南八校联考)设{an}是公比为q的等比数列，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则q等于()A．－43B．－32C．－23或－32D．－34或－43[答案]C[解析]集合{－53，－23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{－54，－24,18,36,81}，其中－24，36，－54,81或81，－54,36，－24成等比数列，∴q＝－32或－23.7．已知f(x)是一次函数，若f(3)＝5，且f(1)、f(2)、f(5)成等比数列，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)的值是________．[答案]10000[解析]设f(x)＝kx＋b，f(3)＝3k＋b＝5，由f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k＋b)2＝(k＋b)·(5k＋b)，可得k＝2，b＝－1.∴f(n)＝2n－1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝100×1＋100×992×2＝10000.8．(文)(2010·浙江金华)如果一个n位的非零整数a1a2…an的各个数位上的数字a1，a2，…，an或适当调整次序后能组成一个等比数列，则称这个非零整数a1a2…an为n位“等比数”．如124,913,333等都是三位“等比数”．那么三位“等比数”共有________个．(用数字作答)[答案]27[解析]适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类：(1)111,222，…，999；(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个；第(2)类“等比数”有3×6＝18个；因此，满足条件的三位“等比数”共有27个．(理)(2012·北京东城练习)已知等差数列{an}首项为a，公差为b，等比数列{bn}首项为4b，公比为a，其中a、b都是大于1的正整数，且a1b1，b2a3，那么a＝________；若对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得bn＝am＋3成立，则an＝________.[答案]25n－3[解析]由已知条件可得ab，aba＋2b，即ab，a－ba，若a＝2，显然符合条件；若a2，则abaa－2，解得a3，即2a3，即不存在a满足条件，由此可得a＝2.当a＝2时，an＝2＋(n－1)b，bn＝b×2n－1，若存在m∈N*，使得bn＝am＋3成立，则b×2n－1＝2＋(m－1)b＋3，即得b×2n－1＝bm＋5－b，当b＝5时，方程2n－1＝m总有解，此时an＝5n－3.9．(2011·锦州模拟)在等比数列{an}中，若公比q1，且a2a8＝6，a4＋a6＝5，则a5a7＝________.[答案]23[解析]∵a2a8＝6，∴a4a6＝6，又∵a4＋a6＝5，且q1，∴a4＝2，a6＝3，∴a5a7＝a4a6＝23.10．(文)(2012·北京东城练习)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．[解析](1)证明：因为Sn＝4an－3，所以n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝43an－1.又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为an＝(43)n－1，bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝(43)n－1.可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)5＝2＋1－43n－11－43＝3·(43)n－1－1(n≥2)，当n＝1时符合上式，∴bn＝3·(43)n－1－1.(理)(2012·浙江绍兴质量调测)已知数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*，有an＋1＝kSn＋1(k为常数)．(1)当k＝2时，求a2、a3的值；(2)试判断数列{an}是否为等比数列？请说明理由．[解析](1)当k＝2时，an＋1＝2Sn＋1，令n＝1得a2＝2S1＋1，又a1＝S1＝1，得a2＝3；令n＝2得a3＝2S2＋1＝2(a1＋a2)＋1＝9，∴a3＝9.∴a2＝3，a3＝9.(2)由an＋1＝kSn＋1，得an＝kSn－1＋1，两式相减，得an＋1－an＝kan(n≥2)，即an＋1＝(k＋1)an(n≥2)，且a2a1＝k＋11＝k＋1，故an＋1＝(k＋1)an.故当k＝－1时，an＝1，n＝n此时，{an}不是等比数列；当k≠－1时，an＋1an＝k＋1≠0，此时，{an}是首项为1，公比为k＋1的等比数列．综上，当k＝－1时，{an}不是等比数列；当k≠－1时，{an}是等比数列.能力拓展提升11.(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列，其最小角的正弦值为()A.5－12B.12C.5－14D.5＋14[答案]A6[解析]设三内角ABC，∵sinA、sinB、sinC成等比数列，∴a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，∴c2－a2＝ac，∴ac2＋ac－1＝0.∵ac0，∴ac＝5－12＝sinA，故选A.[点评]在△ABC中，由正弦定理a＝2RsinA、b＝2RsinB可知，ab⇔AB⇔sinAsinB.12．(文)(2012·深圳二调)已知等比数列{an}满足an0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A．n(2n－1)B．(n＋1)2C．n2D．(n－1)2[答案]C[解析]设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a5·a2n－5＝a1q4·a1q2n－6＝22n，即a21·q2n－2＝22n⇒(a1·qn－1)2＝22n⇒a2n＝(2n)2，∵an0，∴an＝2n，∴a2n－1＝22n－1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log22＋log223＋…＋log222n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝1＋n－2·n＝n2，故选C.(理)(2011·辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－15C．5D.15[答案]A[分析]根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)．由对数的运算法则，得出an＋1与an的关系，判断数列的类型，再结合a2＋a4＋a6＝9得出a5＋a7＋a9的值．[解析]由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∵an0，∴数列{an}是公比等于3的等比数列，∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35，∴log13(a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.13．(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，bn＝a3na2n＋1，且{bn}的前n项和为Tn，若对一切正整数n都有SnTn，则数列{an}的公比q的取值范围是()7A．0q1B．q1C．q2D．1q2[答案]B[解析]由于{an}是等比数列，公比为q，所以bn＝a3na2n＋1＝1q2an，于是b1＋b2＋…＋bn＝1q2(a1＋a2＋…＋an)，即Tn＝1q2·Sn.又SnTn，且Tn0，所以q2＝SnTn1.因为an0对任意n∈N*都成立，所以q0，因此公比q的取值范围是q1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{an}中，an0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2，bn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，则当S11＋S22＋…＋Snn最大时，n的值等于()A．8B．9C．8或9D．17[答案]C[解析]∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，又an0，∴a3＋a5＝5，又q∈(0,1)，∴a3a5，∵a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，∴q＝12，a1＝16，an＝16×(12)n－1＝25－n，bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝n－n2，∴Snn＝9－n2，∴当n≤8时，Snn0；当n＝9时，Snn＝0；当n9时，Snn0，∴当n＝8或9时，S11＋S22＋…＋Snn最大．14．(2012·江苏，6)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．[答案]35[解析]本题考查等比数列及古典概型的知识．8等比数列的