--中国地质大学(武汉)高等代数模拟试题四及答案

考试名称：高等代数模拟试题（4）答案（高起专/专升本）考试方式：闭卷学时：60考试时间：120分钟总分：100试卷共页，请将所有答案写在答题纸相应位置上，答在试卷上不得分（1）如果1|)1(242BxAxx，则A，B各为1，-2。（2）设四阶方阵1100210000120025A，则A的逆阵3/13/1003/23/100005200211A。（3）设四阶行列式1100210000120025A，则A的值为3。（4）设n阶实对称矩阵A的特征值中有r个为正值，有rn为负值，则A的正惯性指数和负惯性指数是rnr,。（5）设行矩阵),,(cbaA，则'AA222cba。AA'222cbcacbcbabacaba（1）下列运算中正确的是（D）(A)TTTBAAB)(；(B)111)(BAAB；(C)111)(ABBA；(D)111)(ABAB。（2）设A是nm矩阵，OAX是非齐次线性方程组bAX所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（D）(A)若OAX仅有零解，则bAX有唯一解；(B)若OAX有非零解，则bAX有无穷多个解；(C)若bAX有无穷多个解，则OAX仅有零解；(D)若bAX有无穷多个解，则OAX有非零解；（3）设n阶矩阵A的行列式0||A，*A是A的伴随矩阵，则（A）(A)1*||||nAA；(B)1*||||nAA；(C)2*||||nAA；(D)2*||||nAA。一、填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程）二、选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内）（4）设3阶矩阵A的行向量组为线性无关的，下述结论中正确的是（A）(A)A的3个列向量必线性无关；(B)A的3个列向量必线性相关；(C)A的秩为2；(D)A的行列式为零。（5）设}0|),,,({2121nnxxxxxxXV,则下列结论正确的是（C）(A)}{OV；(B)V的维数是n；(C)V是子空间；(D)V不是子空间。三、(10分)解线性方程组337713343424313214314321xxxxxxxxxxxxx解：由337713343424313214314321xxxxxxxxxxxxx得24410323224432431432xxxxxxxxxx进而有2441221032344432431xxxxxxxx解之得68234321xcxcxcx四、(10分)已知矩阵100110011A，且EABA2，其中E为三阶单位矩阵，求矩阵B。解：由EABA2可得1AAB，而1001101111A，所以有100110011B-100110111=000000120五、(8分)设n阶方阵A满足条件EAAT，其中TA是A的转置矩阵，E为单位矩阵。证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。证明：因为n阶方阵A满足条件EAAT，所以矩阵A是正交矩阵，即TAA1由于0||||EAEAT，所以TA与A有相同的特征值。又0||EA，所以0|1|1EA，即1A与A的特征值互为倒数。因此有1，即12，或者1||六、(8分)计算行列式401799400402300600300301200395200199100204100103A的值。解：根据行列式的性质有.2000)125458(10010000031052104131001142003105210413100114002003001052001041003401799400402300600300301200395200199100204100103A七、（8分）已知二次型322322213212332),,(xaxxxxxxxf，)0(a通过正交变换化为标准型23222152yyyf，求参数a，并判断该二次型是否为正定二次型。解：二次型的矩阵3030002aaA，所以)9(2||2aA，而10||321A，因此有10)9(2||2aA，解之得2a。由于二次型的三个特征值为1，2，5，均为正，因此可断定该二次型是正定二次型。八、(8分)设A是可逆实矩阵,证明TAA是正定矩阵.证明：由TTT()AAAA知，TAA是对称矩阵．又,x0Ax0，由于2TTT()()()0xAAxAxAxAx，所以TAA是正定矩阵。（其中TA表示矩阵A的转置）九、(8分)假设2()4gxxxa，如果存在唯一的多项式32()fxxbxcxd，使得()()gxfx，且2()()fxgx，试求()fx的表示式．解：设2()4gxxxa=))((21xxxx，由于()()gxfx，所以可设32()fxxbxcxd=))()((321xxxxxx又由于2()()fxgx，所以)()()(221xxxxxf或者221))(()(xxxxxf再由函数)(xf的唯一性可知，必有21xx，即21)()(xxxg，21x，因此有3)2()(xxf