01第一章复数及复变函数

第一章复数及复变函数§1.复数一.复数的基本概念1.复数形如iyxz的数称为复数；称x为复数的实部，记作zRe；称y为复数的虚部，记作zIm；称i为虚数单位，其中12i。2.复数的相等与共轭复数（1）设222111,iyxziyxz，称21zz，当且仅当2121yyxx；说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,则不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.（2）设iyxz，称复数iyx为z的共轭复数，记作z；即：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.;,0,0称为纯虚数时当iyzyx.,0,0xixzy我们把它看作实数时当重要公式：.izzy,zzx22.zz二.复数的四则运算及算律1.复数的代数运算设222111,iyxziyxz，规定：212121yyixxzz；1221212121yxyxiyyxxzz；02222221122222212121zyxyxyxiyxyyxxzz.2.算律：交换律：1221zzzz；1221zzzz;结合律：321321zzzzzz；321321zzzzzz;分配律：3231321zzzzzzz.3.共轭复数的性质.03,2,12212121212121zzzzzzzzzzzzz(4).22yxzz三.复平面称表示复数集合的平面为复平面,复平面上的点或向量代表复数.§2.复数的三角表示一.复数的模与辐角1.模与辐角的概念设iyxz,称22yxzzz为复数z的模，称复向量z0与x轴正向的夹角为复数z的辐角，记作Argz,称满足的辐角为复数z的主辐角,记作argz.显然，复数z的模即为复向量z0的长度.,,222111iyxziyxz设两复数例：).Re(2212121zzzzzz证明2.模与辐角的性质设iyxz,有(1).;00,0zzz(2)..;zyzzxz（斜边大于直角边）(3)..;212121212121zzzzzzzzzzzz(4).2121zzzz;(5).022121zzzzz.(6).argz=.,xyarctan,xyarctan,xyarctan三象限二象限，一，四象限，问题数轴上的复数的辐角怎样？说明,0有无穷多个辐角任何一个复数z,1是其中一个辐角如果的全部辐角为那么z辐角不确定.二.复数的三角表示设z=r，Argz=，利用直角坐标与极坐标的关系复数iyxz可以表示为sincosirz称为复数z的三角表示.三.复数的指数表示设z=r，Argz=，利用欧拉公式复数iyxz可以表示为irez称为复数z的指数表示.例1求复数z=i31的三角表示.例2将复数01sinicosz化为三角形式.四.复数的乘、除及乘方、开方运算设：22221111sincos,sincosirzirz，则：21212121sincosirrzz;).(π2Arg1为任意整数kkz,0,0,zz时当特殊地,sin,cosryrx,sincosiei即：两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.（公式说明：21zz所得到的复向量就是把1z所对应的向量伸缩22zr倍，然后再旋转22zarg角；反之亦然。）0sincos221212121zirrzz;即：两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.ninrznnsincos;.1,1,02sin2cosnknkinkrznn212121ierrzz;02212121zerrzzi;innnerz;.1,1,02nkerznikinn从几何上看,,个值就是以原点为中心的nzn.1个顶点边形的为半径的圆的内接正nnrn例3用复数的三角形式计算ii313.例4用复数的三角形式计算331i.例5解方程013z.例7若n为自然数，且,31nnniiyx其中nx，ny为实数，证明：34111nnnnnyxyx§3.平面点集的一般概念一.开集与闭集1.邻域称满足不等式0zz的全体z的集合为点0z的邻域（实心邻域）；称满足不等式00zz的全体z的集合为点0z的邻域（去心邻域）,记作0zU..,,:6133221232221321zzzzzzzzzzzz点的充要条件是成为等边三角形顶三个复数证明例2.内点、外点、边界点（1）设G为点集，z为G的一个元素，若存在一个z的邻域，该邻域全部含于G内，则称z为G的内点；（2）设G为点集，z不属于G，若存在一个z的邻域，该邻域全部在G外，则称z为G的外点；（3）设G为点集，z为z平面上的一个点，若对z的任意邻域，该邻域内都既有元素既含于G内，又有元素不含于G内，则称z为G的边界点;点集G的所有边界点的集合称为G的边界.3.开集与闭集若点集G中的所有点均为G的内点，则称G为开集；开集的补集称为闭集.4.有界集与无界集若存在M0,使得有MzzG|，则称G为有界集，否则，称G为无界集.二.区域若点集D满足条件：（1）D为开集，（2）D为连通的，则称D为区域.即：区域就是连通的开集.三.平面曲线1.光滑曲线若曲线btatiytxtzzC:在区间ba,内处处有连续的导数，且满足022tytx则称该曲线为光滑曲线.光滑曲线具有连续转动的切线。2.简单曲线（若当曲线）若连续曲线btatiytxtzzC:在区间ba,内没有重点，则称该曲线为简单曲线（若当曲线）；若该曲线的起点与终点重合，则称该曲线为简单闭曲线（若当闭曲线）.3.若当定理任意一条简单闭曲线C必将z平面惟一地分为C,I(C),E(C)为三个点集，它们具有如下性质：（1）彼此没有交集；（2）I(C)为有界域，称为C的内部；（3）E(C)为无界域，称为C的外部；（4）若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E(C)，则P必与C有交点。§4.无穷大与复球面一．无穷远点规定01,称为无穷远点.且有运算:aaa0aaaaaa,0.复平面加上无穷远点称为扩充复平面.设M0,称满足不等式zM的全体复数的集合为无穷远点的邻域.二.复球面复球面上的点与扩充复平面上的点一一对应.§5.复变函数一.复变函数的概念定义:设G为z平面上的点集，若有对应法则f，使得对于G内的任意一个z，通过f，都有w平面上的一个点集内的一个或多个确定的点w与之对应，则称该法则f为定义在G内的一个复变函数；记作zfw.显然，复变函数zfw的对应法则确定了以x，y为自变量的两个二元实函数),,(),,(yxvvyxuu反之，由以x，y为自变量的两个二元实函数也可惟一地确定一个复变函数zfw.例8将定义在全平面上的复变函数12zw化为一对二元实函数。例9将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实函数22222yxyv,yxxu化为一个复变函数。二.复变函数的极限与连续性1.复变函数的极限定义:设复变函数zfw在点0z的某一去心邻域内有定义，A为复定值，若：,000|,0zzzz，不等式Azf恒成立，则称当z趋于0z时，zf以A为极限，记作Azfzz0lim),,(),,(yxvvyxuu说明：（1）（2）若复变函数zf在点0z有极限，则一定惟一。定理1设,,,,00ivuAyxivyxuzf则：,,lim,,limlim0,0,00000vyxvuyxuAzfyyxxyyxxzz该定理将确定复变函数zfw的极限问题转化为确定一对二元实函数的极限问题.因此，可使用二元函数极限的相关结论讨论复变函数的极限问题.例10试讨论zzzf在点z=0的极限.根据定理1易证以下结论：),,(),,(yxvvyxuu).0()()(lim(3);)]()([lim(2);)]()([lim(1),)(lim,)(lim00000BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末设.0的方式是任意的定义中zz2.复变函数的连续性定义:设复变函数zfw在点0z的某一实心邻域内有定义，若有：00limzfzfzz，则称复变函数zfw在点0z连续；若复变函数zfw在区域D内任意一点z均连续，则称复变函数zfw在区域D内连续，或称zf为区域D内的连续函数.例11证：0zzargzf在除去原点和负实轴的全平面上连续，但在负实轴上间断.定理2复变函数yxivyxuzf,,在点0z连续，当且仅当二元实函数yxu,及yxv,均在000,yxz点连续.3.连续函数的性质（ⅰ）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；（ⅱ）连续函数的复合仍为连续函数.特殊的:(1)有理整函数(多项式),)(2210nnzazazaazPw;都是连续的对复平面内的所有点z(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.4.闭域上连续函数的性质（ⅰ）闭域上的连续函数在该域上一定有界；（ⅱ）闭域上的连续函数在该域上一定有最大模与最小模；（ⅲ）闭域上的连续函数在该域上一定一致连续.（即：,0212100z,zzz,的满足不等式均有21zfzf）,)()(zQzPw,)()(都是多项式和其中zQzP.)(,)(:1200也连续在那末连续在如果证明例zzfzzf