02第二节初等函数

第二节初等函数分布图示★反函数★例1★例2★复合函数★例3★例4★例5★例6★函数的运算★例7★函数图形的迭加与变换★初等函数★内容小结★课堂练习★习题1-2★返回内容要点一、反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内,直接函数)(xfy和反函数)(xy的图形关于直线xy是对称的.二、基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数.三、复合函数的概念四、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.初等函数的基本特征:在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的.五、双曲函数和反双曲函数的概念.例题选讲求反函数例1(E01)求函数xxy411411的反函数.解令,41xz则,11zzy故,11yyz即,1141yyx解得,)1(]1)11[(4122yyyyx改变变量的记号，即得到所求反函数:.)1(2xxy例2已知0,10,00,1sgnxxxx(符号函数)求xxysgn)1(2的反函数.解由题设，易得0),1(0,00,1sgn)1(222xxxxxxxy1,)1(0,01,1yyyyyx故所求反函数为.1,)1(0,01,1xxxxxy函数的复合例3(E02)设uufyarctan)(，ttu1)(，)(xt12x，求)]}([{xf.解uxfarctan)]}([{t1arctan.11arctan2x例4(E03)将下列函数分解成基本初等函数的复合.(1);sinln2xy(2);2arctanxey(3)).12ln(cos22xy解xy2sinln)1(是由,uyxwwvvusin,,ln2四个函数复合而成;(2)2arctanxey是由2,arctan,xvvueyn三个函数复合而成;)12ln(cos)3(22xy是由,2uy,cosvu,lnwv,2tw,ht21xh六个函数复合在而成.例5(E04)设,0,10,2)(,1,1,)(2xxxxxxxxexfx求)].([xf解1)(1)(),(,)]([)(xxxexfx(1)当1)(x时,或,112)(,0xxxx或;2011)(,02xxxx(2)当1)(x时,或,0112)(,0xxxx或.21)(,02xxxx所以.220011,1,,2,)]([2122xxxxxexexfxx例6设,1122xxxxf求).(xf解法1令,1xxt则,012txx,242ttx取,242ttx代入得222224124)(1ttttftfxxf.24844)4(4)4(222222tttttt取242ttx同样可得.2)(2ttf所以.2)(2xxf解法1因为,2111222xxxxxxf所以.2)(2xxf例7设函数)(xf的定义域为),,(ll证明必存在),(ll上的偶函数)(xg及奇函数),(xh使得).()()(xhxgxf证先分析如下：假若这样的)(),(xhxg存在，使得),()()(xhxgxf(1)且).()(),()(xhxhxgxg于是有).()()()()(xhxgxhxgxf利用(1)，(2)式，就可作出).(),(xhxg为此构造)].()([21)()],()([21)(xfxfxhxfxfxg则),()()(xfxhxg).()]()([21)(),()]()([21)(xhxfxfxhxgxfxfxg证毕.课堂练习1．下列函数能否复合为函数)]([xgfy,若能,写出其解析式、定义域、值域..1sin)(,ln)()2(;)(,)()1(2xxguuufyxxxguuufy2．分析函数32cosarctanxey的复合结构.