04第四节可降阶的二阶微分方程

第四节可降阶的二阶微分方程对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.分布图示★)()(xfyn型★例1★例2★),(yxfy型★例3★例4★例5★),(yyfy型★例6★例7★内容小结★课堂练习★习题8-4内容要点:一、)(xfy型在方程)(xfy两端积分，得1)(Cdxxfy再次积分，得21)(CdxCdxxfy注：这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程)()(xfyn，只要连续积分n次,就可得这个方程的含有n个任意常数的通解.二、),(yxfy型这种方程的特点是不显含未知函数y，求解的方法是:令),(xpy则)(xpy，原方程化为以)(xp为未知函数的一阶微分方程,).,(pxfp设其通解为),,(1Cxp然后再根据关系式,py又得到一个一阶微分方程).,(1Cxdxdy对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21CdxCxy三、),(yyfy型这种方程的特点是不显含自变量x.解决的方法是：把y暂时看作自变量，并作变换),(ypy于是，由复合函数的求导法则有.dydppdxdydydpdxdpy这样就将原方程就化为).,(pyfdydpp这是一个关于变量y、p的一阶微分方程.设它的通解为),,(1Cypy这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21CxCydy例题选讲：)(xfy型例1（E01）求方程xeyxcos2满足1)0(,0)0(yy的特解.解对所给方程接连积分二次,得,sin2112Cxeyx(1),cos41212CxCxeyx(2)在(1)中代入条件,1)0(y得,211C在(2)中代入条件,0)0(y得,452C从而所求题设方程的特解为.4521cos412xxeyx例2求方程0)3()4(yxy的通解.解设),(xPy代入题设方程,得),0(0PPPx解线性方程,得xCP11(C为任意常数)，即,1xCy两端积分,得,21221CxCy,63231CxCxCy再积分得到所求题设方程的通解为,224432241CxCxCxCy其中)4,3,2,1(iCi为任意常数.进一步通解可改写为.432241dxdxdxdy其中)4,3,2,1(idi为任意常数.),(yxfy型例3（E02）求方程02)1(222dxdyxdxydx的通解.解这是一个不显含有未知函数y的方程.令),(xpdxdy则,22dxdpdxyd于是题设方程降阶为,02)1(2pxdxdpx即.122dxxxpdp两边积分,得|,|ln)1ln(||ln12Cxp即)1(21xCp或).1(21xCdxdy再积分得原方程的通解.3231CxxCy例4求微分方程初值问题3,1,2)1(002xxyyyxyx的特解.解题设方程属),(yxfy型.设,py代入方程并分离变量后,有.122dxxxpdp两端积分，得,)1ln(||ln2Cxp即)1(21xCyp).(1ceC由条件,30xy得,31C所以).1(32xy两端再积分,得.323Cxxy又由条件,10xy得,12C于是所求的特解为.133xxy例5求微分方程12yyx满足),1(2)1(yy且当0x时,y有界的特解.解法1所给方程不显含,y属),(yxfy型,令,py则,py代入方程降阶后求解,此法留给读者练习.解法2因为,)(2yyxyyx即,111xCyxy这是一阶线性微分方程，解得,221xCCxy因为0x时，y有界,得,02C故,21Cxy由此得21y及,21)1(1Cy又由已知条件),1(2)1(yy得,211C从而所求特解为.212xy),(yyfy型例6（E03）求方程02yyy的通解.解设),(ypy则,dydppy代入原方程得,02pdydppy即.0pdydpyp由,0pdydpy可得,1yCp所以,1yCdxdy原方程通解为.12xCeCy例7求微分方程)(22yyyy满足初始条件,1)0(y2)0(y的特解.解令,py由,dydppy代入方程并化简得).1(2pdydpy上式为可分离变量的一阶微分方程，解得,12Cyyp再分离变量,得,12dxCydy由初始条件,1)0(y2)0(y定出,1C从而得,12dxydy再两边积分,得1arctanCxy或),tan(1Cxy由1)0(y定出,41arctan1C从而所求特解为).4tan(xy课堂练习1.求方程xyln的通解.