05-06年上学期高三同步测控优化训练数学A导数A卷(附答案)

第三章导数第一单元导数●知识网络导数导数的概念导数的运算导数的几何意义常见函数的导数函数的和、差、积、商的导数复合函数的导数指数、对数函数的导数●范题精讲【例1】已知曲线y=x和这条曲线上的一点P(2,2),判断曲线y=x在点P处是否有切线,如果有,求出切线方程.分析一:本题考查导数的几何意义.对斜率存在的情况,可将切线是否存在的问题转化为研究割线PQ的斜率的极限问题,因而可先求出函数的增量Δy,写出kPQ,再讨论kPQ的极限.解法一:在曲线y=x上点P附近取一点Q.设Q点的横坐标为2+Δx,则点Q的纵坐标为x2.3211234OPQ2Δ+xΔyxy∴函数的增量Δy=22x.∴割线PQ的斜率22122xxxxykPQ.∴Δx→0时,kPQ有极限为42,这表明曲线y=x在点P处有切线,且切线的斜率是42,由点斜式可得切线方程为y－2=42(x－2),即2x－4y+22=0.分析二:函数y=x是可导的.对y=x求导,就得到曲线y=x的切线的斜率.在x=2处切线的斜率就是导函数在该点处的函数值.解法二:y′=(x)′=x21.∴y′|x=2=42221.由点斜式可得在P点处切线的方程为y－2=42(x－2),即2x－4y+22=0.评注:本题主要考查导数的几何意义.过曲线上一点P,若存在切线,则切线是过该点的割线PQ的极限位置,从而反映了事物之间量变到质变的辩证关系.【例2】求函数y=lg(1+cos2x)的导数.分析:求复合函数的导数关键在于分清函数的复合关系,选好中间变量.复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.解题的过程不必写出中间步骤,可直接运算.解:由y=lg(1+cos2x)得.2sin2cos1elg2)2)(2sin1(2cos1elg)2(cos2cos1elg)2cos1(2cos1elgxxxxxxxxxy说明:可先把1+cos2x化简为2cos2x,再求导.评注:对复合函数的求导,关键是要分清函数的复合过程.中间变量选取的依据是该变量是我们熟悉的导数公式的形式.我们要牢记导数的运算法则和常见函数的导数.注意观察分析函数的结构形式,有的题目经过同解变形后再求导更简单.【例3】物体的运动方程是s=－91t3+3t2－2,求物体在t=3时的速度.分析:以题目的物理意义为切入点,即瞬时速度是位移函数s(t)对时间t的导数,同时应掌握常见函数的导数及导数的运算法则.解:∵s=－91t3+3t2－2,∴s′=－91×3t2+3×2t=－31t2+6t.∴s′|t=3=－31×32+6×3=15,即物体在t=3时的速度为15.评注:掌握导数的物理意义,即s(t)对t的导数是t时刻的瞬时速度.v(t)对t的导数是t时刻的加速度.学会用数学的方法解决物理问题,以培养学生的应用能力.●试题详解高中同步测控优化训练(五)第一单元导数(A卷)说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44分析:本题主要考查如何求函数的增量.解:由函数值的增量公式Δy=f(x0+Δx)－f(x0),得Δy=f(2+0.1)－f(2)=(2+0.1)2+1－(22+1)=0.41.答案:B2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则A.f′(x0)0B.f′(x0)=0C.f′(x0)0D.f′(x0)不存在分析:本题考查导数的几何意义.曲线在点x=x0处的导数,即为切线的斜率.解:切线的方程为2x+y+1=0,即y=－2x－1,斜率为－2,故曲线在x=x0处的导数为－2,即f′(x0)=－20.答案:C3.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)－f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a、b为常数),则A.f′(x)=aB.f′(x)=bC.f′(x0)=aD.f′(x0)=b分析:本题主要考查导数的概念.解:∵f(x0+Δx)－f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a、b为常数),∴xxfxxf)()(0=a+bΔx.∴f′(x0)=0limxxxfxxf)()(00=0limx(a+bΔx)=a.答案:C4.下列四个命题中,正确命题的个数为①若f(x)=x,则f′(0)=0②若函数f(x)=2x2+1,图象上点(1,3)的邻近一点为(1+Δx,3+Δy),则xy=4+2Δx③加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数④曲线y=x3在(0,0)处没有切线A.1B.2C.3D.4分析:本题考查导数的定义及导数的几何意义、物理意义.解:①中,f′(x)=x21在x=0处无导数;③中,s(t)对时间t的导数为动点在某时刻的瞬时速度;④中,曲线在(0,0)处的切线为x轴.故只有②正确.答案:A5.函数y=xcosx－sinx的导数为A.xsinxB.－xsinxC.xcosxD.－xcosx分析:本题主要考查两个函数的差的导数的运算法则,即两个函数差的导数等于它们的导数的差.解:y′=(xcosx)′－(sinx)′=x′cosx+x(cosx)′－cosx=cosx－xsinx－cosx=－xsinx.答案:B6.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2=0平行,则y′|x=2等于A.－3B.－1C.3D.1分析:本题主要考查导数的几何意义,即函数y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率是y=f′(x0).解:∵函数在点(2,1)处的切线的斜率等于直线3x－y－2=0的斜率,∴y′|x=2=3.答案:C7.设f(x)=1)1(22xx(x≠－1),则f′(x)等于A.3x2－2x+1B.3x2+2x+1C.3x2－2x－1D.x2－2x+1分析:本题主要考查积、商函数的导数.可直接求导,也可先将函数变形,化成更便于求导的形式,这样可减少运算量.解法一:f′(x)=2222222)1()1()1()1(])1[(]1)1([xxxxxxx22222222)1(])1()1(4[)1()1()1()1()1)(1(2xxxxxxxxxx=3x2－2x－1.解法二:∵f(x)=1)1()1(22xxx=(x+1)(x－1)2=x3－x2－x+1,∴f′(x)=3x2－2x－1.答案:C8.数y=sin2x在点M(23,6)处的切线斜率为A.－1B.－2C.1D.2分析:本题主要考查常见函数的导数及导数的几何意义.解:∵y′=(sin2x)′=cos2x(2x)′=2cos2x,∴1)62cos(2|6xy.答案:C9.函数y=exlnx的导数是A.y′=xxeB.y′=exlnxC.y′=exlnx+xxeD.y′=xxxlne分析:本题主要考查两个函数积的导数.我们要准确记忆指数与对数函数的导数.解:y′=(ex)′lnx+ex(lnx)′=exlnx+xxe.答案:C10.若曲线y=x2－1与y=1－x3在x=x0处的切线互相垂直,则x0等于A.6363B.－6363C.32D.32或0分析:本题主要考查导数的几何意义及两直线垂直的位置关系,即若两直线的斜率都存在,则它们垂直的条件是斜率的乘积等于－1.解:因为两直线垂直且导数都存在且分别为y′=2x,y′=－3x2,所以(2x)·(－3x2)=－1,即x=6363.答案:A第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在横线上)11.已知曲线y=x1－1上两点A(2,－21)、B(2+Δx,－21+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率为__________.分析:本题考查直线斜率的求法,割线的斜率k=xy.解:)2(2)2(2)2(22121)121()121(xxxxxxy.∴)2(21)2(2xxxxxy,即k=)2(21xxy.∴当Δx=1时,k=－)12(21=－61.答案:－6112.设f(x)=sin2x1,则f′(x)=__________.分析:本题主要考查复合函数的导数.解题的关键是搞清函数的复合关系.解:f′(x)=2sinx1·(sinx1)′=2sinx1cosx1(x1)′=－21xsinx2.答案:xx2sin1213.若曲线y=－x3+3与直线y=－6x+b相切,则b为__________.分析:本题考查导数的几何意义.关键是确定曲线上哪一点的导数等于－6.解:y′=－3x2.令y′=－3x2=－6,得x=±2.把x=2代入曲线方程中,得y=3－22.把x=－2代入曲线方程中,得y=3+22.因为曲线与直线y=－6x+b相切,所以切点也在直线y=－6x+b上.分别把(2,3－22)、(－2,3+22)代入直线方程中,得b1=3+42,b2=3－42.答案:3±4214.若f′(x0)=1,则kxfkxfk2)()(lim000=__________.分析:本题考查导数的定义及极限的运算法则.根据导数的定义式,把原式进行一系列变形,凑定义式的结构形式.至于用什么字母或符号表示自变量增量无关紧要.解:21121)(21)()(lim212)()(lim0000000xfkxfkxfkxfkxfkk.答案:－21三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题10分)求函数y=24x的导数.分析:本题主要考查导数的概念.可直接运用导数的运算法则求解,也可用导数的定义求解,若用定义求解时,应先求函数值的增量Δy,再求平均变化率xy,最后求极限,得导数.解法一:∵y=24x,∴y′=3488xxx.解法二:∵Δy=2222)()2(44)(4xxxxxxxxx,4分∴22)(24xxxxxxy.6分∴0limxxy=0limx［－4·22)(2xxxxx］=－38x.∴y′=－38x.10分16.(本小题10分)设函数f(x)=ax3+3x2+2,若f′(－1)=4,试求a的值.分析:本题考查利用导数求参数的值.解题的关键是利用导数会列参数的方程.解:∵f(x)=ax3+3x2+2,∴f′(x)=(ax3)′+(3x2)′4分=3ax2+6x.6分∵f′(－1)=4,∴3a－6=4.8分∴a=310.10分17.(本小题10分)求函数y=(x+1)(x1－1)的导数.分析:本题主要考查函数的和、差、积的导数,培养灵活地处理问题的能力.可以整体运用u·v型求导公式,也可先把函数式展开变形后再求导.做一做,比较一下.解法一:∵y=(x+1)(x1－1),∴y′=(x+1)′(x1－1)+(x+1)(x1－1)′5分=x21(x1－1)－(x+1)xx217分=－x21(1+x1).10分解法二:y=(x+1)(x1－1)=2121xx.∴)11(2121212321xxxxy.18.(本小题12分)设f(x)=,1,12xbxaxx试讨论当a、b为何值时,f(x)在x=1处可导.分析:本题考查分段函数在接点处的导数.需依据导数的定义,分别求解此函数在接点处的左导数与右导数.解:要使f(x)在x=1处可导,则f(x)在x=1处必连续,则1limxf(x)=f(1),即a+b=1.3分又若0limxxy存在,则当x=1时,有0limxxy=0limxxy.6分∵0limxxy=