05第5讲因式分解

第5讲因式分解本讲重点：分解因式的意义，用提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式【考点链接】1．分解因式：把一个多项式化成几个整式的的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．2．分解因式的方法：⑴提公因式法：如果一个多项式的各项含有，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：平方差公式：22ba=，完全平方公式：222baba=，222baba=.3．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用分解．【典例探究】考点1分解因式的概念『例1』（教材习题变式题）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A、ayaxyxa)(B、4)4(442xxxxC、)12(55102xxxxD、xxxxx3)4)(4(3162『解析』A左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；B的右边整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式；C的左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；D的右边不是几个整式的积的形式.只有C是分解因式，故选C.『备考兵法』本题都是要求正确理解分解因式的概念.因式分解是指把一个多项式写成几个整式的积的形式，它与整式的乘法运算过程恰好相反.考点2分解因式『例2』（教材习题变式题）分解因式：（1）x3y－xy3；（2）3x3－18x2+27x；（3）（x－1）2－x+1；（4）4（x－y）2－2（y－x）3；（5）（x2+4）2－16x2；（6）3ab2+6a2b+3a3.『解析』（1）原式=yxyxxy.（2）原式=233xx.（3）原式=21xx.（4）原式=yxyx222.（5）原式=2222xx.（6）原式==3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2.『备考兵法』（1）若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式；（2）若一个多项式的两项都可化成两个单项式的平方，并且其符号是相反的，则这个多项式可以利用平方差公式分解因式；（3）用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：①要求多项式有三项.②其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.考点3因式分解的应用『例3』（1）(1)若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是()A．8B．16C．2D．4（2）已知a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求a＋b的值．（3）如果多项式2x3＋x2－26x＋k有一个因式是2x＋1，求k的值．『解析』（1）解析：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝42＝16，选B.（2）∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0，(a＋3)2＋(b－5)2＝0，∴a＋3＝0且b－5＝0，∴a＝－3，b＝5，∴a＋b＝－3＋5＝2.（3）∵2x＋1是2x3＋x2－26x＋k的因式，∴可设2x3＋x2－26x＋k＝(2x＋1)·R，令2x＋1＝0，x＝－21，得2×213＋212－26×21＋k＝0，k＝－13.『备考兵法』1.利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值.2.一个问题有两个未知数，只有一个条件，考虑到已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解.3.逆向思维，推出多项式分解后的几个因式，采用系数求等的方法列方程组求解，或者利用恒等变形的性质.【当堂过关】1.（2012安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（）A.nm2B.12mmC.nm2D.122mm『解析』根据分解因式的方法，首先是提公因式，然后考虑用公式，如果项数较多，要分组分解，本题给出四个选项，问哪个可以分解，对照选项中的多项式，试用所学的方法分解．22)1(12mmm．『答案』D2.（2012恩施州）a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（）A．a2b（a2﹣6a+9）B．a2b（a﹣3）（a+3）C．b（a2﹣3）2D．a2b（a﹣3）2『解析』a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2．『答案』D3.（2012上海）因式分解：xy﹣x=．『解析』xy﹣x=x（y﹣1）．『答案』x（y﹣1）4.（2012成都）分解因式：25xx=________．『解析』x2﹣5x=x（x﹣5）．『答案』x（x﹣5）5.（2012四川广安）分解因式：3a2﹣12=．『解析』3a2﹣12=3（a+2）（a﹣2）.『答案』3（a+2）（a﹣2）6.（2012广东）分解因式：2x2﹣10x=．『解析』原式=2x（x﹣5）『答案』2x（x﹣5）7.（2012贵州安顺）分解因式：a3﹣a=．『解析』提公因式法与公式法的综合运用a3﹣a=a（a2﹣1）=a（a+1）（a﹣1）．『答案』a（a+1）（a﹣1）8.（2012六盘水）分解因式：2x2+4x+2=．『解析』2x2+4x+2=2（x2+2x+1）=2（x+1）2．『答案』2（x+1）2．9.（2012云南）分解因式：2363xx.『解析』2223633(21)3(1)xxxxx.『答案』23(1)x10.（2012宿迁模拟）已知实数a、b满足ab＝1，a＋b＝2，求代数式a2b＋ab2的值．解：当ab＝1，a＋b＝2时，原式＝ab(a＋b)＝1×2＝2．【浙江两年中考】1.（2012温州）把多项式a²－4a分解因式，结果正确的是()A.a(a-4)B.(a+2)(a-2)C.a(a+2)(a-2)D.(a－2)²－4『解析』直接提取公因式a即可：a2－4a=a（a－4）.『答案』A2.（2012台州）因式分解：m2－1=.『解析』直接应用平方差公式即可：2m1m1m1.『答案』m1m13.（2012义乌）分解因式：x2﹣9=．『解析』x2﹣9=（x+3）（x﹣3）.『答案』（x+3）（x﹣3）4.（2012绍兴）分解因式：3aa=.『解析』32(1)(1)(1)aaaaaaa.『答案』(1)(1)aaa5.（2012丽水）分解因式：2x2－8＝．『解析』先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解：2x2－8＝2(x2－4)＝2(x＋2)(x－2).『答案』2(x＋2)(x－2)【命题趋势提醒】本节内容是初中数学的基础知识，是分式运算的基础，它通常以填空、选择题出现，这部分试题难度不大，主要考查学生对概念的理解以及方法的运用能力．【迎考精炼】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1.（2012•济宁）下列式子变形是因式分解的是（）A．x2﹣5x+6=x（x﹣5）+6B．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6D．x2﹣5x+6=（x+2）（x+3）『解析』根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．『答案』B2.（2012南昌十五校联考）下列各式，分解因式正确的是（）A.222)(babaB.)(zyxxxzxyC.)11(332xxxxD.222)(2bababa『解析』222)(2bababa正确.『答案』D3.（2012兴仁中学一模）因式分解x2y－4y的正确结果是（）A．y（x+2）（x－2）B．y（x+4）（x－4）C．y（x2－4）D．y（x－2）2『解析』x2y－4y=y（x+2）（x－2）.『答案』A4.（2012眉山市模拟）把代数式269mxmxm分解因式，下列结果中正确的是（）A．2(3)mxB．(3)(3)mxxC．2(4)mxD．2(3)mx『解析』269mxmxm=2(3)mx.『答案』D5.（2012天台模拟）下列是5x217x12分解因式后的一个因式的是（）(A)x1(B)x1(C)x4(D)x4『解析』5x217x12=（x4）（5x－3）.『答案』C6.（2012泰安模拟）下列等式不成立的是（）A．m2－16＝（m－4）（m＋4）B．m2＋4m＝m（m＋4）C．m2－8m＋16＝（m－4）2D．m2＋3m＋9＝（m＋3）2『解析』m2＋3m＋9≠（m＋3）2.『答案』D7.（2012丽水模拟）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（）A、x2+1B、x2+2x﹣1C、x2+x+1D、x2+4x+4『解析』根据完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2可得，选项A、B、C都不能用完全平方公式进行分解因式，D、x2+4x+4=（x+2）2．『答案』D8.(2012西城一模)因式分解219x的结果是()A．24xxB．81xxC．24xxD．108xx『解析』219x=24xx.『答案』A9.（2012龙岩模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=33﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是（）A.﹣4或﹣1B.4或﹣1C.4或﹣2D.﹣4或2『解析』依题意，原方程化为x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，分解因式，得（x+1）（x﹣4）=0，解得x1=﹣1，x2=4．『答案』B10.（2012大庆模拟）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰三角形或直角三角形D、等腰直角三角形『解析』∵a3+ab2+bc2=b3+a2b+ac2，∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2=0，（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）=0，（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，所以a﹣b=0或a2+b2﹣c2=0．所以a=b或a2+b2=c2．故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．『答案』C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）11.（2012福州）分解因式：x2－16＝_________________．『解析』x2－16＝(x＋4)(x－4)．『答案』(x＋4)(x－4)12.（2012湖南常德）分解因式：22-nm．『解析』22-nmnmnm-.『答案』nmnm-13.（2012湘潭）因式分解：m2﹣mn=．『解析』m2﹣mn=m（m﹣n）．『答案』m（m﹣n）．14.（2012陕西）分解因式：3223-2+=xyxyxy．『解析』2322322-2-2-xyxyxyxyxxyyxyxy『答案』2-xyxy15.（2012广州）分解因式：a3﹣8a=．『解析』a3﹣8a=a（a2﹣8）=a（a+2）（a﹣2）．『答案』a（a+2）（a﹣2）16.（2012株洲模拟）当x=10，y=9时，代数式x2﹣y2的值是．『解析』x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），当x=10，y=9时，原式=（10+9）×（10﹣9）=19.『答案』19三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.（18分）（教材习题变式题）分解因式(1)3x4－12x2;(2)9(x－y)2－4(x+y)2;(3)1－6mn+9m2n2;(4)a2－14ab+49b2(5)9(a+b)2+12(a+b)+4;(6)(a－b)2+4ab.解：(1)原式=3x2(x+2)(x－2);(2)原式=(5x－y)(x－5y);(3)原式=(3mn－1)2;(4)原式=(a－7b)2;(5)原式=(3a+3b+2)2;(6)原式=(a+b)2.18.（