05第五节二阶线性微分方程解的结构

第五节二阶线性微分方程解的结构内容分布图示★二阶线性微分方程的概念二阶线性方程的解的性质★定理1★函数的线性相关和线性无关★定理2★定理3★定理4★定理5★例1★内容小结★课堂练习★习题8-5★返回内容要点：一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd，(6.1)其中)(xP、)(xQ及)(xf是自变量x的已知函数，函数)(xf称为方程(6.1)的自由项.当0)(xf时,方程(6.1)成为0)()(22yxQdxdyxPdxyd，(6.2)这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程.定理1如果函数)(1xy与)(2xy是方程(6.2)的两个解,则)()(2211xyCxyCy(6.3)也是方程(6.2)的解，其中21,CC是任意常数.定理2如果)(1xy与)(2xy是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则)()(2211xyCxyCy就是方程(6.2)的通解，其中21,CC是任意常数.定理3设y是方程(6.1)的一个特解，而Y是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则yYy(6.4)就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解.定理4设1y与2y分别是方程)()()(1xfyxQyxPy与)()()(2xfyxQyxPy的特解，则21yy是方程)()()()(21xfxfyxQyxPy(6.5)的特解.定理5设21iyy是方程)()()()(21xifxfyxQyxPy(6.6)的解，其中)(),(),(),(21xfxfxQxP为实值函数，i为纯虚数.则1y与2y分别是方程)()()(1xfyxQyxPy与)()()(2xfyxQyxPy的解.例1已知xxxxxxxeexeyexeyexey23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解:(1)求此方程的通解;(2)写出此微分方程;(3)求此微分方程满足6)0(,7)0(yy的特解.课堂练习1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的?).(,)2(;,)1(22baeexeebxaxxx2.给出n阶线性微分方程的n个解,问能否写出这个微分方程及其通解?