09第九章不等式【讲义】

惠生活请支持我们，会有更多资源给大家第九章不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）aba-b0；（2）ab,bcac；（3）aba+cb+c；（4）ab,c0acbc；（5）ab,c0acbc;（6）ab0,cd0acbd;（7）ab0,n∈N+anbn;（8）ab0,n∈N+nnba;（9）a0,|x|a-axa,|x|axa或x-a;（10）a,b∈R，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|;（11）a,b∈R，则(a-b)2≥0a2+b2≥2ab;（12）x,y,z∈R+，则x+y≥2xy,x+y+z.33xyz前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。（6）因为ab0,cd0，所以acbc,bcbd，所以acbd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若nnba，由性质（7）得nnnnba)()(，即a≤b，与ab矛盾，所以假设不成立，所以nnba；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(yxxy≥0，所以x+y≥xy2，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令czbyax333,,，因为x3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥33xyz，等号当且仅当x=y=z时成立。二、方法与例题1．不等式证明的基本方法。（1）比较法，在证明AB或AB时利用A-B与0比较大小，或把BA（A，B0）与1比较大小，最后得出结论。例1设a,b,c∈R+，试证：对任意实数x,y,z,有x2+y2+z2.))()((2xzbacyzacbxycbaaccbbaabc例2若ax1，比较大小：|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.惠生活请支持我们，会有更多资源给大家（2）分析法，即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证……，只需证……。例3已知a,b,c∈R+，求证：a+b+c-33abc≥a+b.2ab（3）数学归纳法。例5对任意正整数n(≥3)，求证：nn+1(n+1)n.（4）反证法。例6设实数a0,a1,…,an满足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0,a1-2a2+a3≥0,…,an-2-2an-1+an≥0，求证ak≤0(k=1,2,…,n-1).（5）分类讨论法。例7已知x,y,z∈R+，求证：.0222222yxxzxzzyzyyx（6）放缩法，即要证AB，可证AC1,C1≥C2,…,Cn-1≥Cn,CnB(n∈N+).例8求证：).2(12131211nnn惠生活请支持我们，会有更多资源给大家例9已知a,b,c是△ABC的三条边长，m0，求证：.mccmbbmaa（7）引入参变量法。例10已知x,y∈R+,l,a,b为待定正数，求f(x,y)=2323ybxa的最小值。例11设x1≥x2≥x3≥x4≥2,x2+x3+x4≥x1，求证：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.（8）局部不等式。例12已知x,y,z∈R+，且x2+y2+z2=1，求证：222111zzyyxx.233例13已知0≤a,b,c≤1，求证：111abccabbca≤2。（9）利用函数的思想。例14已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=1，求f(a,b,c)=accbba111的最小值。惠生活请支持我们，会有更多资源给大家2．几个常用的不等式。（1）柯西不等式：若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n，则.)())((211212niiiniiniibaba等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1,2,,n,ai=λbi,变式1：若ai∈R,bi∈R,i=1,2,…,n，则.)()()(212112niiniiniiibaba等号成立条件为ai=λbi,(i=1,2,…,n)。变式2：设ai,bi同号且不为0(i=1,2,…,n)，则.)(1211niiiniiniiibaaba等号成立当且仅当b1=b2=…=bn.（2）平均值不等式：设a1,a2,…,an∈R+，记Hn=naaan11121,Gn=nnaaa21,An=naaaQnaaannn2222121,，则Hn≤Gn≤An≤Qn.即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an.【证明】由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下仅证Gn≤An.1）当n=2时，显然成立；2）设n=k时有Gk≤Ak，当n=k+1时，记kkkaaaa1121=Gk+1.因为a1+a2+…+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥kkkkkkGakaaak11121≥kkkkkkkGkGaaak221211121222kGk+1,所以a1+a2+…+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。（3）排序不等式：若两组实数a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn，则对于b1,b2,…,bn的任意排列niiibbb,,,21，有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤niniibababa2121≤a1b1+a2b2+…+anbn.【证明】引理：记A0=0，Ak=)1(1nkakii，则niiiba1niiiibss11)(=nnniiiibsbbs111)(（阿贝尔求和法）。证法一：因为b1≤b2≤…≤bn，所以kiiibbb21≥b1+b2+…+bk.记sk=kiiibbb21-(b1+b2+…+bk)，则sk≥0(k=1,2,…,n)。所以kiniibababa2121-(a1b1+a2b2+…+anbn)=njjijbbaj1)(njjjjaas11)(+snan≤0.最后一个不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1,2,…,n-1,sn=0),所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。惠生活请支持我们，会有更多资源给大家证法二：（调整法）考察kiniibababa2121，若nibbj，则存在。若nibbj\(j≤n-1)，则将nib与jib互换。因为))(()()()(nnnninjbninjnjnnjinijnnbbaabaabaababababa≥0，所调整后，和是不减的，接下来若11nibbn，则继续同样的调整。至多经n-1次调整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。例15已知a1,a2,…,an∈R+，求证；1221322221aaaaaaaannna1+a2+…+an.注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。三、基础训练题1．已知0x1，a,b∈R+，则xbxa122的最小值是____________.2．已知x∈R+，则21xx的最小值是____________.3．已知a,b,c∈R，且a2+b2+c2=1,ab+bc+ca的最大值为M，最小值为N，则MN=___________.4．若不等式211322xxaxx对所有实数x成立，则a的取值范围是____________.5．若不等式12xx+a的解是xm，则m的最小值是____________.6．“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|8的解集是{x|-2x6}”的____________条件.7．若a,b∈R+，则a+b=1，以下结论成立是__________.①a4+b4≥81；②41≤a3+b31；③abba21122；④22121ba；⑤bbaa21；⑥.lglg21abab8．已知0，若934)cos1(2sin，则=____________.9．已知nxxxxn21，p=(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2,若xa，则比较大小：p___________q.10．已知a0,b0且ab,m=aabb,n=abba,则比较大小：m_________n.11．已知n∈N+，求证：.123121122nnn12．已知0a1，x2+y=0，求证：loga(ax+ay)≤loga2+81.13．已知x∈R，0x，求证：.221xxx四、高考水平训练题1．已知A=asin2x+bcos2x,B=acos2x+bsin2x(a,b,x∈R)，设m=AB,n=ab,P=A2+B2,q=a2+b2，则下列结论成立的有]__________.（1）m≥n,p≥q;（2）m≤n,p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.惠生活请支持我们，会有更多资源给大家2．已知a,b,c,d∈R，M=4(a-b)(c-d),N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，则比较大小：M________N.3．若baba,,R+，且3a，13aab，将2,,,3baba从小到大排列为________.4．已知△ABC的三边长a,b,c满足b+c≤2a,a+c≤2b，则ab的取值范围是________.5．若实数x,y满足|x|+|y|≤1，则z=x2-xy+y2的最大值与最小值的和为________.6．设函数f(x)=1232xx(x∈[-4,2])，则f(x)的值域