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当前位置:首页 > 商业/管理/HR > 项目/工程管理 > 1-1第2章§222抛物线的简单性质
第二章§22.2一、选择题1.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,过点(-2,3)的抛物线方程是()A.y2=94xB.x2=43yC.y2=-94x或x2=-43yD.y2=-92x或x2=43y[答案]D[解析]∵点(-2,3)在第二象限,∴设抛物线方程为y2=-2px(p0)或x2=2p′y(p′0),又点(-2,3)在抛物线上,∴9=4p,p=94,4=6p′,p′=23.2.(2014·山师大附中高二期中)抛物线y2=-2px(p0)的焦点恰好与椭圆x29+y25=1的一个焦点重合,则p=()A.1B.2C.4D.8[答案]C[解析]椭圆中a2=9,b2=5,∴c2=a2-b2=4,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),抛物线y2=-2px(p0)的焦点F(-p2,0)与F1重合,∴-p2=-2,∴p=4,故选C.3.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)[答案]B[解析]∵圆心到直线x+2=0的距离等于到抛物线焦点的距离,∴定点为(2,0).4.抛物线y2=4x上点P(a,2)到焦点F的距离为()A.1B.2C.4D.8[答案]B[解析]∵点P(a,2)在抛物线上,∴4a=4,∴a=1,∴点P(1,2).又抛物线的焦点F坐标为(1,0),∴|PF|=0+4=2.5.P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、|BB1|、|PP1|,则有()A.|PP1|=|AA1|+|BB1|B.|PP1|=12|AB|C.|PP1|12|AB|D.|PP1|12|AB|[答案]B[解析]如图,由题意可知|PP1|=|AA1|+|BB1|2,根据抛物线的定义,得|AA1|=|AF|,|BB1|=|BC|,∴|PP1|=|AF|+|BF|2=12|AB|.6.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点,若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1,B1,则∠A1FB1为()A.45°B.60°C.90°D.120°[答案]C[解析]设抛物线方为y2=2px(p0).如图,∵|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∴∠AA1F=∠FA1A,∠BFB1=∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B,∴∠A1FO=∠AF1A,∠B1FO=∠FB1B,∴∠A1FB1=12∠AFB=90°.二、填空题7.(2014·长春市调研)已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,设|FA||FB|,则|FA||FB|=________.[答案]3+22[解析]抛物线y2=4x的焦点F(1,0),过F斜率为1的直线方程为y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x-1,y2=4x,消去y得x2-6x+1=0,求得x1=3+22,x2=3-22,故由抛物线的定义可得|FA||FB|=x1+1x2+1=3+22.8.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为________.[答案]x=-2[解析]由抛物线的几何性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行,及直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.9.一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=ax上,另一个顶点在坐标原点,如果这个三角形的面积为363,则a=________.[答案]±23[解析]设正三角形边长为x.由题意得,363=12x2sin60°,∴x=12.当a0时,将(63,6)代入y2=ax,得a=23.当a0时,将(-63,6)代入y2=ax,得a=-23,故a=±23.三、解答题10.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB;(2)当△OAB的面积等于10时,求k的值.[答案](1)略(2)±16[解析](1)如图所示,由方程组y2=-xy=kx+1,消去x得,ky2+y-k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1·y2=-1,y1+y2=-1k.∵A,B在抛物线y2=-x上,∴y21=-x1,y22=-x2,∴y21·y22=x1x2.∵kOA·kOB=y1x1·y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=-1,∴OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于N,显然k≠0.令y=0,则x=-1,即N(-1,0).∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=12|ON||y1|+12|ON||y2|=12|ON|·|y1-y2|,∴S△OAB=12·1·y1+y22-4y1y2=12-1k2+4.∵S△OAB=10,∴10=121k2+4,解得k=±16.一、选择题11.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为()A.18B.-18C.8D.-8[答案]B[解析]y=ax2⇒x2=1ay,由题意得14a=-2,a=-18,故选B.12.设抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则此直线的斜率的取值范围是()A.[-12,12]B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4][答案]C[解析]准线x=-2,Q(-2,0),设y=k(x+2),由y=kx+2y2=8x,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时,x=0,即交点为(0,0);当k≠0时,由Δ≥0得,-1≤k0或0k≤1,综上,k的取值范围是[-1,1],故选C.13.已知A、B在抛物线y2=2px(p0)上,O为坐标原点,如果|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点F,则直线AB的方程是()A.x-p=0B.4x-3p=0C.2x-5p=0D.2x-3p=0[答案]C[解析]如图所示:∵F为垂心,F为焦点,OA=OB,∴OF垂直平分AB.∴AB为垂直于x轴的直线,设A(2pt2,2pt)(t0),B(2pt2,-2pt),∵F为垂心,∴OB⊥AF,∴kOB·kAF=-1.即-2pt22pt2-p2·2pt2=-1,整理,解得t2=54.∴直线AB的方程为x=2pt2,即x=52p,∴选C.14.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.22B.23C.4D.25[答案]B[解析]本题考查了抛物线的标准方程,抛物线定义的应用等知识.由于抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点且经过点M(2,y0),可设方程为y2=2px,由点M到抛物线焦点的距为3,则由抛物线定义得2+p2=3,解得p=2,则y2=4x,又M(2,y0)在抛物线y2=4x上,则y20=8,|OM|=22+y20=12=23.二、填空题15.(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x2+ky2=3k(k0)的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该椭圆的离心率是________.[答案]32[解析]抛物线的焦点为F(3,0),椭圆的方程为:x23k+y23=1,∴3k-3=9,∴k=4,∴a=23,c=3,离心率e=ca=32.16.过点P(2,2)作抛物线y2=3x的弦AB,恰被P所平分,则AB所在的直线方程为______________.[答案]3x-4y+2=0[解析]解法一:设以P为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),则有y21=3x1,①y22=3x2,②x1+x2=4,y1+y2=4.③①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=3(x1-x2).④将③代入④得y1-y2=34(x1-x2),即34=y1-y2x1-x2,∴k=34.∴所求弦AB所在直线方程为y-2=34(x-2),即3x-4y+2=0.解法二:设弦AB所在直线方程为y=k(x-2)+2.由y2=3x,y=kx-2+2.消去x,得ky2-3y-6k+6=0,此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标,由韦达定理和中点坐标公式,得y1+y2=3k,又y1+y2=4,∴k=34.∴所求弦AB所在直线方程为3x-4y+2=0.三、解答题17.已知圆x2+y2-9x=0,与顶点在原点O,焦点在x轴上的抛物线交于A、B两点,△OAB的垂心恰为抛物线的焦点,求抛物线的方程.[答案]y2=4x[解析]依题意设所求抛物线方程为y2=2px(p0),焦点Fp2,0,A(x0,y0),B(x0,-y0),则y20=2px0x20+y20-9x0=0,∴x20+(2p-9)x0=0.①∵OA⊥BF,∴kOA·kBF=-1.∴y0x0·y0p2-x0=-1,即2px0x0p2-x0=-1.∴x0=52p.②把②代入①得p=2.∴所求抛物线方程为y2=4x.18.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.[答案]y2=-4x[解析]如图所示,依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则直线方程为y=-x+12p.设直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+p2+x2+p2,即x1+p2+x2+p2=8.①又A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由y=-x+12py2=2px,消去y得x2-3px+p24=0,∴x1+x2=3p.将其代入①得p=2,∴所求抛物线方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.
本文标题:1-1第2章§222抛物线的简单性质
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