1-4-2第二讲数列的通项公式与数列求和

一、选择题1．已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10，则a2012＝()A．2010B．2012C．－2010D．－2012解析：设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件可得a1＋d＝02a1＋12d＝－10，解得a1＝1，d＝－1.所以数列{an}的通项公式为an＝－n＋2.故a2012＝－2012＋2＝－2010.答案：C2．(2012年高考福建卷)数列{an}的通项公式an＝ncosnπ2，其前n项和为Sn，则S2012等于()A．1006B．2012C．503D．0解析：用归纳法求解．∵an＝ncosnπ2，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2.又2012＝4×503，∴a1＋a2＋…＋a2012＝2＋2＋…＋2,\s\do4(503个))＝2×503＝1006.答案：A3．(2012年海淀模拟)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．9解析：∵an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有ak≥0，ak＋1≤0，∴22－3k≥0，22－3（k＋1）≤0，∴193≤k≤223，∵k∈N*，∴k＝7.故满足条件的n的值为7.答案：B4．在公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1＝1，an＝51，则n＋d的最小值为()A．14B．16C．18D．10解析：由题意得1＋(n－1)d＝51，即(n－1)d＝50，且d0.由(n－1)＋d≥2（n－1）d＝250(当且仅当n－1＝d时等号成立)，得n＋d≥102＋1，因为n，d均为正整数，所以n＋d的最小值为16，选B.答案：B5．(2012年高考浙江卷)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn0D．若对任意n∈N*，均有Sn0，则数列{Sn}是递增数列解析：利用函数思想，通过讨论Sn＝d2n2＋(a1－d2)n的单调性判断．设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋(a1－d2)n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－10，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a10，d0，{Sn}必是递增数列，D正确．答案：C二、填空题6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－an，则数列{an}的通项公式为________．解析：由于Sn＝2n－an，所以Sn＋1＝2(n＋1)－an＋1，后式减去前式，得Sn＋1－Sn＝2－an＋1＋an，即an＋1＝12an＋1，变形为an＋1－2＝12(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首项，12为公比的等比数列．又a1＝2－a1，即a1＝1.则an－2＝(－1)·(12)n－1，所以an＝2－(12)n－1.答案：2－(12)n－17．(2012年高考江西卷)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，则对任意的n∈N*，都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________．解析：利用“特殊值”法，确定公比．由题意知a3＋a2－2a1＝0，设公比为q，则a1(q2＋q－2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a1（1－q5）1－q＝1－（－2）53＝11.答案：118．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市卫生部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，则11月________日，该市感染此病毒的新患者人数最多．解析：设该市11月n日新感染者有an人，在11月(x＋1)日开始控制病毒的传播，其中x∈N*，则由题意可知：an＝20＋50（n－1），1≤n≤x50x－30－30（n－x），xn≤30，从而由条件得20＋50x－302·x＋[（50x－60）＋（80x－930）]2·(30－x)＝8670，解之得x＝12或x＝49(舍去)，故易知11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多．答案：12三、解答题9．(2012年长沙模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足4b1－1·42b2－1·43b3－1·…·4nbn－1＝(an＋1)n，求数列{bn}的通项公式．解析：(1)∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝2，而a1＝1，a1＋1＝2≠0，故数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N*)．(2)∵4b1－1·42b2－1·43b3－1·…·4nbn－1＝(an＋1)n，∴4b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn－n＝2n2，∴2(b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn)－2n＝n2，即2(b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn)＝n2＋2n，①当n≥2时，2[b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1]＝(n－1)2＋2(n－1)＝n2－1，②由①－②得2nbn＝2n＋1(n≥2)，bn＝1＋12n(n≥2)．易知当n＝1时，4b1－1＝a1＋1＝2，得b1＝32，满足上式，∴bn＝1＋12n(n∈N*)．10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n.(1)求数列的通项公式an；(2)设2bn＝an－1，且Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1，求Tn.解析：(1)因为Sn＝n2＋2n，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝3＝2×1＋12，满足上式．故an＝2n＋1，n∈N*.(2)因为2bn＝an－1，所以bn＝12(an－1)＝12(2n＋1－1)＝n，所以1bnbn＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，所以Tn＝1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1＝11×2＋12×3＋…＋1n×（n＋1）＝11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n＋1n－1n＋1＝nn＋1.11．(2012年广州两校联考)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求证：{an－3n}是等比数列并求数列{an}的通项公式；(3)设3nbn＝n(3n－an)，且|b1|＋|b2|＋…＋|bn|m对于n∈N*恒成立，求m的取值范围．解析：(1)证明：由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1)(n≥2)，∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)证明：由(1)得an＋1＋2an＝5·3n，∴(an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)，故数列{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列，∴an－3n＝2(－2)n－1，即an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n(3)由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－23)n令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝23＋2(23)2＋3(23)3＋…＋n(23)n23Sn＝(23)2＋2(23)3＋…＋(n－1)(23)n＋n(23)n＋1得13Sn＝23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)n－n(23)n＋1＝23[1－（23）n]1－23－n(23)n＋1＝2[1－(23)n]－n(23)n＋1∴Sn＝6[1－(23)n]－3n(23)n＋16，要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|m对于n∈N*恒成立，只须m≥6.