1.2.2同角的三角函数的基本关系(教学案)

1.2.2同角的三角函数的基本关系一、教学目标：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2奎屯王新敞新疆通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3奎屯王新敞新疆注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．二、教学重、难点重点：公式1cossin22及tancossin的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.难点:根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义,推导同角三角函数的基本关系式:1cossin22及tancossin,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学过程【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP,余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且1OP.由勾股定理由221MPOM,因此221xy,即22sincos1.根据三角函数的定义,当()2akkZ时,有sintancos.这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.【例题讲评】例1化简：440sin12解：原式80cos80cos80sin1)80360(sin1222例2已知sin1sin1sin1sin1是第三象限角，化简OxyPM1A(1,0)解：)sin1)(sin1()sin1)(sin1()sin1)(sin1()sin1)(sin1(原式|cos|sin1|cos|sin1sin1)sin1(sin1)sin1(22220cos是第三象限角，tan2cossin1cossin1原式（注意象限、符号）例3求证：cossin1sin1cos分析：思路1．把左边分子分母同乘以xcos，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．证法1：左边=xxxxxxxxxcossin1cos)sin1(sin1cos)sin1(coscos2右边，∴原等式成立奎屯王新敞新疆证法2：左边=)sin1)(sin1(cos)sin1(xxxx＝xxx2sin1cos)sin1(xxx2coscos)sin1(＝xxcossin1右边奎屯王新敞新疆证法3：∵0cos)sin1(coscoscos)sin1()sin1(coscossin1sin1cos2222xxxxxxxxxxxx，∴xxxxcossin1sin1cos奎屯王新敞新疆证法4：∵cosx≠0，∴1+sinx≠0，∴xxcossin1≠0，∴xxxxcossin1sin1cos＝xxxsin1sin1cos2＝xx22sin1cos＝1，∴xxxxcossin1sin1cos．,cos)sin1(cos)sin1(cossin1sin1sin1cossin1,cos)sin1(coscoscossin1cos:5222xxxxxxxxxxxxxxxxx右边左边证法∴左边=右边∴原等式成立．例4已知方程0)13(22mxx的两根分别是cossin，，求的值。tan1coscot1sin解：cossincossincossinsincoscoscossinsin2222原式213由韦达定理知：原式（化弦法）例5已知cos2sin，求的值。及cossin2sincos2sin5cos4sin2解：2tancos2sin611222tan54tancos2sin5cos4sin5614241tantan2tancossincossin2sincossin2sin222222【课堂练习】化简下列各式1．),2(cos1cos1cos1cos12．xxxxxxsintansintancos1sin3．coscos1sin1sin22练习答案：解：（１）原式＝2222sin)cos1(sin)cos1(＝sincos1sincos1＝sin2sin2),2(（２）原式＝xxxxxxxxsincossinsincossincos1sin＝)cos1(sin)cos1(sincos1sinxxxxxx＝xxxxxxsinsinsincos1cos1sincossincossin)3(原式)(0)22232(0)()2322(tan2)222(0)222(tan2kkkzkkkkkkk【学习小结】（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cossin22，cossintan．（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．(1)作业：习题1.2A组第10,13题.(2)熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.【课后作业】见学案【板书设计】略【教学反思】1.2.2同角的三角函数的基本关系课前预习学案预习目标：通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线，为本节所要学习的同角三角函数的基本关系式做好铺垫。预习内容：复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线：。提出疑惑：与初中学习锐角三角函数一样，我们能不能研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化呢？。课内探究学案学习目标：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2奎屯王新敞新疆通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3奎屯王新敞新疆注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．学习过程：【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP,余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形,而且1OP.由勾股定理由221MPOM,因此221xy,即.根据三角函数的定义,当()2akkZ时,有.这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.【例题讲评】例1化简：440sin12OxyPM1A(1,0)例2已知sin1sin1sin1sin1是第三象限角，化简例3求证：cossin1sin1cos例4已知方程0)13(22mxx的两根分别是cossin，，求的值。tan1coscot1sin例5已知cos2sin，求的值。及cossin2sincos2sin5cos4sin2【课堂练习】化简下列各式3．),2(cos1cos1cos1cos14．xxxxxxsintansintancos1sin3．coscos1sin1sin22课后练习与提高1奎屯王新敞新疆已知sinα＋cosα＝231，且0＜α＜π，则tanα的值为()3D.33C.3-B.33.A2奎屯王新敞新疆若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为()A奎屯王新敞新疆0B奎屯王新敞新疆1C奎屯王新敞新疆－1D奎屯王新敞新疆±13奎屯王新敞新疆若tanθ＋cotθ＝2，则sinθ＋cosθ的值为()A奎屯王新敞新疆0B奎屯王新敞新疆2C奎屯王新敞新疆－2D奎屯王新敞新疆±24奎屯王新敞新疆若sin3cos5cos2sin4＝10，则tanα的值为奎屯王新敞新疆5奎屯王新敞新疆若tanα＋cotα=2，则sin4α＋cos4α＝奎屯王新敞新疆6奎屯王新敞新疆若tan2α＋cot2α＝2，则sinαcosα＝奎屯王新敞新疆临清三中数学组编写人：贾明磊审稿人：庞红玲李怀奎同角的三角函数的基本关系教学目的：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2奎屯王新敞新疆通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3奎屯王新敞新疆注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．教学重点：同角三角函数的基本关系奎屯王新敞新疆教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式．授课类型：新授课知识回顾：同角三角函数的基本关系公式:——————————————————————————————————————————————————————————————————————典型例题：例1．已知sin=2，求α的其余三个三角函数值．例2．已知：51sin且0tan，试用定义求的其余三个三角函数值．例3．已知角的终边在直线y=3x上，求sin和cos的值．说明：已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值时要注意：(1)角所在的象限；(2)用平方关系求值时，所求三角函数的符号由角所在的象限决定；(3)若题设中已知角的某个三角函数值是用字母给出的，则求其他函数值时，要对该字母分类讨论．)()22,232()232,2(1)()2,22()22,2(1zkkkkkxzkkkkkx四、小结几种技巧五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：