1.2.2空间两直线的位置关系(二)教学设计

一、课题名称：异面直线二、设计思路空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上来研究的，学生对此已有一定的感性认识，但学生空间想象能力还较薄弱。故本节课要利用好模型展示，多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成。坚持以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合的教学方法。设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识。三、教学目标知识与能力目标：掌握异面直线的判定，理解异面直线所成的角的概念，会用反证法证明两条直线是异面直线。过程与方法目标：通过模型的展示，使学生了解、感受异面直线所成角的概念；探究异面直线所成角的求法，提高分析与解决问题的能力，体会空间问题平面化的基本数学思想方法。情感态度与价值观目标：通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力。鼓励学生大胆尝试、勇于探索，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、数学的严谨美。四、教学重点异面直线的判定、异面直线所成角的定义及计算。五、教学难点异面直线所成角的方法的探究。六、教学准备正方体、三棱锥等教具，小木棍及阅读、寻找生活中的一些关于异面直线问题。七、教学过程1温故知新，引入课题我有针对性设置下面两个问题：①回答图中两直线的位置关系：②思考图中表示两条直线a、b异面的方法正确吗？为什么？【设计意图】通过学生观察两组图形语言，很好的起到复习与引入的效果，激发了学生的兴趣，引发学生的思考，培养学生的观察能力。2知识探究，形成概念引导学生回答问题2中，三种表示方法共同特点：就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征则难以体现.数学讲究严谨，如何说明两直线异面呢?显然，利用定义证明有难度，下面我们介绍一种立几中常用的方法：反证法.问题：若l，A，B，Bl，证明：直线AB与l是异面直线。证明：假设AB与l共面，由于经过点B和直线l的平面只能有一个，所以直线AB与l都应在平面内，于是点A在平面内，这与点A在平面外矛盾。因此，直线AB与l是异面直线。异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。学生练习：如图,试找出三棱锥ABCD中,那些棱所在的直线互为异面直线？（结论：三棱锥中对棱互为异面直线。）学生总结：1上述反证法证题的步骤：反设；归谬；结论；2判断两直线异面的方法：定义法；判定定理；反证法。小组讨论：我们知道两条相交直线所成的角刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度，那么用什么量来刻画两条异面直线中一条直线相对于另一条直线的倾斜程度呢？然后给出如下的流程图，引导学生考虑：异面直线所成的角：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线'aa∥，'bb∥，我们把直线'a和'b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b所成的角。小组讨论：1由于点O是任意的，大家说这样作出的角有多少个？这无数个锐角(或直角)的大小有什么关系？2解题时，把点O选在何处较好？3请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例。学生练习：已知1111ABCDABCD是棱长为a的正方体，则异面直线1AA与BC所成的角为；异面直线1BC与AC所成的角为。学生总结：ABCDABCDA1B1C1D11异面直线所成角的范围：0,2；2找异面直线所成角的关键：要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。【设计意图】数学教学的核心是学生的再创造。让学生自主探究，小组讨论，体验数学知识的发生、发展的过程，从而使学生更好地理解数学概念和方法，突出了重点，化解了难点。3学以致用，提炼方法例1在空间四边形ABCD中，已知2ABCD,E、F分别是BC、AD的中点，且2EF，求AB和CD所成的角。解析：取AC的中点G，连结GE、GF，E、F分别是BC、AD的中点，EGAB∥,GFCD∥,112EGAB,112GFCD。EG和GF所成的角FGE，即为异面直线AB、CD所成的角。又2EF，故90FGE。方法探究：引导学生考虑其他解法，如：选取BD的中点；过点B作CD的平行线；过点D作AB的平行线等，可让学生课后尝试求解。学生练习（变式演练）：例1中，若3EF，其余条件不变，则AB和CD所成的角为。（提示：本题要注意：异面直线所成角0,2。）例2如图，有一块长方体的木料，P为木料表面11AC内的一点，其中点P不在对角线11BD上，过点P在平面11AC内作一直线l，使l与直线BD成角，这样的直线有几条，应该如何作图？思路探究：本题直接求解，极易出错，可先将具体化，如：2；3等，给学生以思路的启发。从而再对参数的讨论，能做到不重不漏。解：在平面11AC内，作ml∥，使m与11BD相交成角。11BDBD∥,m与BD也成角，m即为所求作的直线。若m与BD是异面直线：当2时，这样的直线m有且只有一条；PD1C1B1A1DCBAGFEDCBA当2时，这样的直线m有两条；若m与BD共面，这样的直线m只有一条。学生总结：1求异面直线所成角步骤：①作；②证；③计算；亦即“作平行线，构造三角形”；2当异面直线a、b所成角是直角，则称异面直线a、b互相垂直，记作ab。其与平面上两直线垂直有什么区别呢？小组讨论（可用小木棍摆一摆）：下列命题是否正确，并说明理由：1若ab∥，ca，则cb；2若ac，bc，则ab∥。【设计意图】通过例题的讲解板演，注重培养学生的能力，及时的归纳总结，使学生的知识得到深化。通过变式训练，有利于培养学生思维的发散性。4归纳总结，升华提高为使学生对所学的知识有一个完整而深刻的印象，请学生从以下几方面自己小结：①通过学习你对异面直线所成角有那些认识？②求异面直线所成角时，应注意那些问题？③本节课你还有哪些问题？作业：课本第27页第7题、第8题。【设计意图】及时的归纳，有利于学生养成良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也能培养学生数学交流和表达的能力。八、教学反思我在整节课的处理上，采取了知识、方法来源于课本，挖掘其深度、广度，符合现代教学要求。注重发展学生的合情推理能力，降低几何证明的难度。同时，加强空间观念的培养，注重知识产生的过程性，具体体现在以下几个方面：1异面直线的判定定理没有直接给出，而是让学生在对图形语言观察感知基础上，进行思考并给出证明，这样就避免了学生死记硬背，有利于理解数学的本质。2异面直线所成角的引入，则让学生联想初中“刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度”，“那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？”引起学生思考，讨论交流，并给出流程图供参考。使学生更好的参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。3对于异面直线所成角的求解，本节给出了两种最常见的载体：长（正）方体、三棱锥，及其在实际问题中的应用。并注重一题多解、一题多变，解题步骤、思想方法的及时总结，很好的强调了异面直线所成角的范围问题。同时，在教学中，始终注重训练学生准确地进行三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）的转换，培养运用图形语言进行交流的能力。4以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。