1.2高二数学文科选修1-2第一章及导学案

张家口东方中学导学案年级：高二科目：数学选修2-21-2-1使用时间：2016-03-01编制：阎银燕审核：高二数学组合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》1《几个常用函数的导数》导学案【学习目标】1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．【重点难点】重点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用难点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式【学法指导】一．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()yfx，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．【教学过程】1．函数()yfxc的导数根据导数定义，因为()()0yfxxfxccxxx所以00limlim00xxyyx函数导数yc0y0y表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则0y可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()yfxx的导数因为()()1yfxxfxxxxxxx所以00limlim11xxyyx函数导数yx1y1y表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则1y可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()yfxx的导数因为22()()()yfxxfxxxxxxx2222()2xxxxxxxx张家口东方中学导学案年级：高二科目：数学选修2-21-2-1使用时间：2016-03-01编制：阎银燕审核：高二数学组合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》2所以00limlim(2)2xxyyxxxx函数导数2yx2yx2yx表示函数2yx图像（图3.2-3）上点(,)xy处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x时，随着x的增加，函数2yx减少得越来越慢；当0x时，随着x的增加，函数2yx增加得越来越快．若2yx表示路程关于时间的函数，则2yx可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．4．函数1()yfxx的导数因为11()()yfxxfxxxxxxx2()1()xxxxxxxxxx所以220011limlim()xxyyxxxxx函数导数1yx21yx（2）推广：若*()()nyfxxnQ，则1()nfxnx【当堂检测】1．课本P13探究12．课本P13探究24．求函数yx的导数【反思】函数导数yc'0yyx'1y2yx'2yx1yx'21yx*()()nyfxxnQ'1nynx张家口东方中学导学案年级：高二科目：数学选修2-21-2-1使用时间：2016-03-01编制：阎银燕审核：高二数学组合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》3《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．【重点难点】重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用【学法指导】四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用【教学过程】（一）导入（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则导数运算法则1．'''()()()()fxgxfxgx2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx3．'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx函数导数yc'0yyx'1y2yx'2yx1yx'21yx*()()nyfxxnQ'1nynx函数导数yc'0y*()()nyfxxnQ'1nynxsinyx'cosyxcosyx'sinyx()xyfxa'ln(0)xyaaa()xyfxe'xye()logafxx'1()log()(01)lnafxxfxaaxa且()lnfxx'1()fxx张家口东方中学导学案年级：高二科目：数学选修2-21-2-1使用时间：2016-03-01编制：阎银燕审核：高二数学组合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》4（2）推论：''()()cfxcfx（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）（二）深入学习例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tptp，其中0p为0t时的物价．假定某种商品的01p，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'()1.05ln1.05tpt所以'10(10)1.05ln1.050.08p（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323yxx（2）y＝xx1111；（3）y＝x·sinx·lnx；（4）y＝xx4；（5）y＝xxln1ln1．（6）y＝（2x2－5x＋1）ex（7）y＝xxxxxxsincoscossin例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100cxxx求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%（2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)xxcxxx20(100)5284(1)(100)xx25284(100)x（1）因为'25284(90)52.84(10090)c，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()fx在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)cc．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．【当堂检测】1．课本P92练习2．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（y＝－12x＋8）【反思】（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则张家口东方中学导学案年级：高二科目：数学选修2-21-2-1使用时间：2016-03-01编制：阎银燕审核：高二数学组合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》5§1.2.2复合函数的求导法则【学习目标】理解并掌握复合函数的求导法则．【重点难点】重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．【学法指导】（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则导数运算法则1．'''()()()()fxgxfxgx2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx3．'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx（2）推论：''()()cfxcfx（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）【教学过程】（一）导入复合函数的概念一般地，对于两个函数()yfu和()ugx，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数()yfu和()ugx的复合函数，记作()yfgx。复合函数的导数复合函数()yfgx的导数和函数()yfu和()ugx的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．若()yfgx，则()()()yfgxfgxgx（二）深入学习例1求y＝sin（tanx2）的导数．函数导数yc'0y*()()nyfxxnQ'1nynxsinyx'cosyxcosyx'sinyx()xyfxa'ln(0)xyaaa()xyfxe'xye()logafxx'1()log()(01)lnafxxfxaaxa且()lnfxx'1()fxx张家口东方中学导学案年级：高二科目：数学选修2-21-2-1使用时间：2016-03-01编制：阎银燕审核：高二数学组合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.——《老子》6【点评】求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．例2求y＝axxax22的导数．【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．例3求y＝sin4x＋cos4x的导数．【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－21sin22x＝1－41（1－cos4x）＝43＋41cos4x．y′＝－sin4x．【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4sin3x(sinx)′＋4cos3x(cosx)′＝4sin3xcosx＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin2x－cos2x)＝－2sin2xcos2x＝－sin4x【点评】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．例4曲线y＝x（x＋1）（2－x）有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2令y′＝1即3x2－2x－1＝0，解得x＝－31或x＝1．于是切点为P（1，2），Q（－31，－2714），过点P的切线方程为，y－2＝x－1即x－y＋1＝0．显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为2|1271431|＝22716．【当堂检测】1．求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；（2）122sinxxy;(3))2(log2xa2.求)132ln(2xx的导数【反思】1、复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．2、正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．张家口东方中学导学案年级：高二科目：数学选修2-21-2-1使用时间