01高等数学课件(共10章)函数、极限与连续

高等数学第一章：函数、极限与连续1高等数学-函数与极限连续一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.},,,{21naaaA}{所具有的特征xxM有限集无限集,Ma,Ma.,,的子集是就说则必若BABxAx.BA记作2高等数学-函数与极限连续数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:.,,RQQZZN.,,相等与就称集合且若BAABBA)(BA},2,1{A例如},023{2xxxC.CA则不含任何元素的集合称为空集.)(记作例如,}01,{2xRxx规定空集为任何集合的子集.3高等数学-函数与极限连续2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab4高等数学-函数与极限连续}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,),[ba记作],(ba记作}{),[xaxa}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.5高等数学-函数与极限连续3.邻域:.0,且是两个实数与设a).(0aU记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}{)(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a.}0{)(axxaU,}{邻域的称为点数集aaxx6高等数学-函数与极限连续4.常量与变量:在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.7高等数学-函数与极限连续5.绝对值:00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:8高等数学-函数与极限连续二、函数概念例圆内接正多边形的周长nnrSnsin2,5,4,3n3S5S4S6S圆内接正n边形Orn9高等数学-函数与极限连续因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作定义设x和y是两个变量,D是一个给定的数集，数集D叫做这个函数的定义域)(xfy如果对于每个数Dx,10高等数学-函数与极限连续(())0x)(0xf自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.xyDW约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.21xy例如，]1,1[:D211xy例如，)1,1(:D11高等数学-函数与极限连续定义:.)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．．例如，222ayx12高等数学-函数与极限连续(1)符号函数010001sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyoxxxsgn13高等数学-函数与极限连续(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线x14高等数学-函数与极限连续0,10,12)(,2xxxxxf例如12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.15高等数学-函数与极限连续例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.)0(tt解UtoE),2(E)0,(2,]2,0[时当ttEU2;2tE单三角脉冲信号的电压,],2(时当t),(200tEU)(2tEU即16高等数学-函数与极限连续,),(时当t.0U其表达式为是一个分段函数,)(tUU),(,0],2(),(2]2,0[,2)(tttEttEtUUtoE),2(E)0,(217高等数学-函数与极限连续例2.)3(,212101)(的定义域求函数设xfxxxf解23121301)3(xxxf212101)(xxxf122231xx]1,3[:fD故18高等数学-函数与极限连续三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX0x,)(,,0,成立有若MxfXxMDX1．函数的有界性:..)(否则称无界上有界在则称函数Xxf19高等数学-函数与极限连续2．函数的单调性:,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI20高等数学-函数与极限连续)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有21高等数学-函数与极限连续3．函数的奇偶性:偶函数有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf22高等数学-函数与极限连续有对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy23高等数学-函数与极限连续4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,)(Dxf的定义域为设函数如果存在一个不为零的.)()(恒成立且xflxf为周则称)(xf.)(,,DlxDxl使得对于任一数.)(,的周期称为期函数xfl2l2l23l23l24高等数学-函数与极限连续四、反函数0x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(yx反函数o25高等数学-函数与极限连续)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy26高等数学-函数与极限连续例3解,01)(QxQxxD设.))(().21(),57(的性质并讨论求xDDDD,1)57(D,0)21(D,1))((xDDoxy1单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,27高等数学-函数与极限连续五、小结基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数28高等数学-函数与极限连续思考题设0x，函数值21)1(xxxf，求函数)0()(xxfy的解析表达式.29高等数学-函数与极限连续思考题解答设ux1则2111uuuf,112uu故)0(.11)(2xxxxf30高等数学-函数与极限连续一、填空题:1、若2251tttf,则__________)(tf,__________)1(2tf.2、若3,sin3,1)(xxxt,则)6(=_________，)3(=_________.3、不等式15x的区间表示法是_________.4、设2xy,要使),0(Ux时，)2,0(Uy,须__________.练习题31高等数学-函数与极限连续二、证明xylg在),0(上的单调性.三、证明任一定义在区间)0(),(aaa上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.四、设)(xf是以2为周期的函数，且10,001,)(2xxxxf,试在),(上绘出)(xf的图形.五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数.六、证明函数acxbaxy的反函数是其本身.七、求xxxxeeeexf)(的反函数，并指出其定义域.32高等数学-函数与极限连续一、1、225tt,222)1(2)1(5tt；2、1,1；3、(4,6)；4.]2,0(.七、)1,1(,11lnxxy.练习题答案33高等数学-函数与极限连续一、基本初等函数1.幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy34高等数学-函数与极限连续2.指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey35高等数学-函数与极限连续3.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(36高等数学-函数与极限连续4.三角函数正弦函数xysinxysin37高等数学-函数与极限连续xycosxycos余弦函数38高等数学-函数与极限连续正切函数xytanxytan39高等数学-函数与极限连续xycot余切函数xycot40高等数学-函数与极限连续正割函数xysecxysec41高等数学-函数与极限连续xycsc余割函数xycsc42高等数学-函数与极限连续5.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数43高等数学-函数与极限连续xyarccosxyarccos反余弦函数44高等数学-函数与极限连续xyarctanxyarctan反正切函数45高等数学-函数与极限连续幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.xycot反余切函数arcxycotarc46高等数学-函数与极限连续二、复合函数初等函数1.复合函数,uy设,12xu21xy定义:设函数)(ufy的定义域fD,而函数)(xu的值域为Z,若ZDf,则称函数)]([xfy为x的复合函数.,自变量x,中间变量u,因变量y47高等数学-函数与极限连续注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu)2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy例如,uy,cotvu.2xv2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.48高等数学-函数与极限连续四、小结函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)49高等数学-函数与极限连续思考题下列函数能否复合为函数)]([xgfy，若能，写出其解析式、定义域、值域．,)()1(uufy2)(xxxgu,ln)()2(uufy1sin)(xxgu50高等数学-函数与极限连续思考题解答2)]([)1(xxxgfy},10|{xxDx]21,0[)(Df)2(不能．01sin)(xxg)(xg的值域与)(uf的定义域之交集是空集.51高等数学-函数与极限连续._________1反三角函数统称对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，.__________)(ln]31[)(2的定义域为，则函数，的定义域为、函数xfxf一、填空题:.______32复合而成的函数为，、由函数xueyu.__________2lnsin4复合而成由、函数xy.