10. 2012年全国高中数学联赛湖北预赛

预赛试题集锦（2013）高中竞赛1思维的发掘能力的飞跃2012年全国高中数学联赛湖北省预赛一．填空题（每小题8分，共64分）1.函数21()47xfxxx的值域为_______．2.已知223sin2sin1，223(sincos)2(sincos)1，则cos2()_______．3.已知数列na满足：1a为正整数，1231nnnnnaaaaa，为偶数，，为奇数，如果12329aaa，则1a_______．4.设集合12312S，，，，，123Aaaa，，是S的子集，且满足123aaa＜＜，325aa≤，那么满足条件的子集A的个数为_______．5.过原点O的直线l与椭圆C：22221(0)xyabab＞＞交于MN，两点，P是椭圆C上异于MN，的任一点．若直线PMPN，的斜率之积为13，则椭圆C的离心率为_______．6.在△ABC中，2ABBC，3AC．设O是△ABC的内心，若AOpABqAC，则pq的值为_______．7.在长方体1111ABCDABCD中，已知1AC，12BC，1ABp，则长方体的体积最大时，p为_______．8.设[]x表示不超过x的最大整数，则201210201222kkk_______．二．解答题（第9题16分，第10题20分，第11题20分，共56分）9.已知正项数列na满足21211143nnnnnnnnnaaaaaaaaa且11a，28a，求na的通项公式．10.已知正实数ab，满足221ab，且3331(1)abmab，求m的取值范围．11.已知点()Emn，为抛物线22(0)ypxp＞内一定点，过E作斜率分别为12kk，的两条直线交抛物线于ABCD，，，，且MN，分别是线段ABCD，的中点．（1）当0n且121kk时，求△EMN的面积的最小值；（2）若12kk（0，为常数），证明：直线MN过定点．预赛试题集锦（2013）高中竞赛2思维的发掘能力的飞跃以下高一部分1．已知集合{|},{|},,AxxaBxxbabN，且ABN{1}，则ab1．2．已知正项等比数列{}na的公比1q，且245,,aaa成等差数列，则147369aaaaaa352．6．在△ABC中，角,,ABC的对边长,,abc满足2acb，且2CA，则sinA74．8．设123,,xxx是方程310xx的三个根，则555123xxx的值为5．11．设()log(2)log(3)aafxxaxa，其中0a且1a．若在区间[3,4]aa上()1fx恒成立，求a的取值范围．解22225()log(56)log[()]24aaaafxxaxax．由20,30,xaxa得3xa，由题意知33aa，故32a，从而53(3)(2)022aaa，故函数225()()24aagxx在区间[3,4]aa上单调递增.（1）若01a，则()fx在区间[3,4]aa上单调递减，所以()fx在区间[3,4]aa上的最大值为2(3)log(299)afaaa．在区间[3,4]aa上不等式()1fx恒成立，等价于不等式2log(299)1aaa成立，从而2299aaa，解得572a或572a．结合01a得01a．（2）若312a，则()fx在区间[3,4]aa上单调递增，所以()fx在区间[3,4]aa上的最大值为2(4)log(21216)afaaa.在区间[3,4]aa上不等式()1fx恒成立，等价于不等式2log(21216)1aaa成立，从而221216aaa，即2213160aa，解得1341134144a．易知1341342，所以不符合．综上可知：a的取值范围为(0,1)．