凸函数与最优化理论毕业论

1凸函数的性质及其在最优化理论中的应用摘要给出了凸函数的定义及相关性质，研究了凸函数的的等价定义及其常用的一些判别方法，探讨了凸函数在非线性规划中的应用．关键词凸函数；非线性规划；梯度；凸规划中图分类号O224ThePropertyofConvexFunctionandItsApplicationinOptimizationAbstract：Thispaperdealswithsomequestionsofconvexfunction.Firstofallwegiveadefinitionofconvexandit’scalculationcharacters.Nextweprovethemindetails.Thensomeequaldefinitionsaregivenandprovedbyturns.Afterthatapplicationsofconvexfunctionarediscussedincludingseveralexamples．Keywords：Convexfunction；Nonlinearprogramming；Gradient；Convexprogramming1前言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论中处理某些问题时．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．对于一般的非线性函数来说，要给出极值点充分必要条件的一般表达式是困难的，但目标函数为凸函数时，却有较好的充要条件表达式．本文首先介绍凸函数的定义、性质及判定条件，最后利用凸集、凸函数解决非线性凸规划问题．2预备知识2.1[1]一般非线性规划的数学模型min;fx0,1,2,,,.0,1,2,,.ijgximsthxjl(1)(1)式中12,,,TnnxxxxR是n维向量．,1,2,,,1,2,,ijfgimhjl都是1nRR的映射（即自变量是n维向量，因变量是实数的函数关系）．与线性规划类似，把满足约束条件的解称为可行解，若记0,1,2,,,0,1,2,,ijDxgximhxjl．称D为可行域．因此模型(1)式有时可简记为min,fxxD．22.2[2]凸集设K是n维欧式空间的一点集，若任意两点12,XKXK的连线上的所有点满足121,01aXaXKa，则称K为凸集．2.3[3]水平集设函数fx定义在集合S上，则称集合,,sHfxxS且fx为fx在集合S上关于数的水平集．其中是一个数，1,nfxRxSR．这里,sHf水平集，指的是满足fx的那部分x的集合，即为S的一个子集．如下图1-1所示：图1-12.4[3]梯度设多元函数12,,,,TnnufxxxxxSR，若在点010200,,,Tnxxxx处对于自变量12,,,Tnxxxx的各分量的偏导数01,2,,ifxinx都存在，则称函数ufx在点0x处一阶可导，并称向量000012,,Tnfxfxfxfxxxx是ufx在点0x处的梯度或一阶导数．2.5[3]海塞矩阵设ufx，0,nxSR若f在点0xS处对于自变量xS的各分量的二阶偏导数20,1,2,,ijfxijnxx都存在，则称函数fx在点0x处二阶可导，并称矩阵Hs（f，β）xf(x)β0322200021121222000222122222000212nnnnnfxfxfxxxxxxfxfxfxfxxxxxxfxfxfxxxxxx为fx在点0x处的二阶导数或海塞矩阵．3凸函数的定义及性质3.1凸函数的两个定义凸函数的定义有多种形式.一般《数学分析》中多采用分析性强的弦线法定义,而《高等数学》多采用几何直观性强的切线法定义．分别见下面的定义1及定义2.定义1[4]设函数fx在区间,ab上有定义，若对,ab上任意两点12,xx和实数0,1，总有121211fxfxfxfx成立，则称fx为区间,ab上的凸函数；若上式仅不等号成立，则称fx为区间,ab上的严格凸函数．定义2[5]设函数fx在区间I上可导,如果曲线yfx在区间I位于其上任一点处切线的上方,那么称曲线yfx在区间I上为凸的，即fx为区间上的凸函数．类似的可定义凹函数.3.2凸函数的性质性质1[5]若fx与gx均为凸集S上的凸函数，则fxgx也是凸集S上的凸函数．证明1,2xxS和0,1，因fx,gx都是凸集S上的凸函数,则121211fxfxfxfx,121211gxgxgxgx.两式相加便得：12121212111fxxgxxfxgxfxgx.由凸函数的定义知fxgx也是凸集S上的凸函数．4性质2[5]若fx为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数0a，函数afx也是定义在S上的凸函数．证明由于12,xxS，fx为S上的凸函数，则对于0,1t和0aa，有121211ftxtxtfxtfx，上式两端均乘以0aa，可得121212111aftxtxatfxatfxtafxtafx．由凸函数的定义知afx是凸集S上的凸函数．推论,R，12,fxfx均为定义在凸集S上的凸函数，则12fxfx也是凸函数．性质3[6]设fx是定义在凸集S上的凸函数，则对任一个实数，水平集,,sHfxxS且fx也是一个凸集．证明12,,sxxHf，则有12,,01fxfxaa，作1201axaxx．因为12,xSxS，S是凸集，因此有0121,sxaxaxHf．即012,,,xxx都同属于S，又因为fx是定义在S上的凸函数，故有0121fxfaxax1211.afxafxafaf即0121,sxaxaxHf，则由凸集定义可知，,sHf也是一个凸集．性质4[5]若fx为定义在凸集S上的凸函数，则fx的任一个极小点就是它在S上的全局极小点，而且所有极小点形成一个凸集．5证明设x是fx的一个局部极小点，即0,在x的领域,Nx内，所有x都满足：fxfx，在S中任取一点x，连x及x，则存在一个0,1，使1,xxNx．记01xxx，则有01fxfxxfx．(2)又因为fx为定义在凸集S上的凸函数，所以有11fxfxfxfx．(3)由(2)式及(3)式，有1fxfxfx．即fxfx．又因为0，有fxfx．因为x是S上的任意一点，则x是fx在S上的全局极小点．若凸函数fx在S上的极小点不止一个，则极小点必连成一片构成凸集．设x为fx在S上的一个极小点，fx为其极小值，记fx．则由性质3，水平集：0,,sHfxxS0fx构成一个凸集，在凸集0,sHf中的点x有0fxfx．因此0,sHf中的点必全是fx在S中的极小点．由水平集的定义，fx在S中的极小点也全在水平集0,sHf中，所以fx在S中的极小点必构成凸集．4凸规划对于非线性规划(1)，当fx为凸函数，函数1,2,,igxim是凸函数，函数()jhx1,2,,jl为线性函数时，规划(1)为一个凸规划．定理1[7]设fx为定义在凸集S上的可微凸函数，若存在点xS，使对于所有的点xS，都有60Tfxxx．则x是fx在凸集S上的全局极小点．证明,xS凸函数的一阶充要条件为Tfxfxfxxx．因为0Tfxxx，故有fxfx．由于xS的任意性，故xS是fx在凸集S上的全局极小点．定理2[7]若x为定义在凸集S上的可微凸函数fx一个平稳点，则x也是fx在S上的全局极小点．证明因x为平稳点，即有0fx．即满足：xS都有0Tfxxx．则由定理1可知，x也是fx在S上的全局极小点．引理1[8]设fx是nR上的凸函数，并设fx有限，如果fx在x可微，则对一切nyR，均有Tfyfxyxfx．定理3[8]假设函数fx和1,2,,igxim分别为nR上的凸函数和凹函数，并设1,2,,jhxjl为线性函数．若存在向量x、、，其中x满足(1)式，且成立110pmiijjijfxgxhx,0iigx1,2,,im,0,则x为满足(1)式的整体最优点．证明设x是满足(1)式的任一点．于是711pmiijjijfxfxgxhx．(4)将引理1用于fx、igx和jhx，并利用(4)得到1mTiiifxfxxxfxgx11Tpmiijjijxxgxhx1pTjjjxxhx．将上式重新排列，得到11pmiijjijfxfxgxhx11pmTiijjijxxfxgxhx，所以得到fxfx．5应用例1求下列函数的极小值点：22221121122fxxxxx．解先求平稳点，因为2311111121222422fxxxxxx，224fxx．令0fx，即31124220,0,xxx解此方程组，得到平稳点：1,0Tx．8又2211220xfx04，因此有2100fx04，所以1,0Tx是严格局部极小点．例2试分析下面线性规划目标函数的最优解．22121min44fxxxx11222121220,.10,,0.gxxxstgxxxxx解fX和2gX的海塞矩阵的行列式分别是222112222212222221122222222122040,02200.02fxfxxxxHfxfxxxxgxgxxxxggxgxxxx知fx为严格凸函数，2gx为凹函数．由于其他约束条件均为线性函数，所以这是一个