43应力状态和强度理论

材料力学Ⅰ电子教案1第七章应力状态和强度理论§7-1概述§7-2平面应力状态的应力分析·主应力§7-3空间应力状态的概念§7-4应力与应变间的关系§7-5空间应力状态下的应变能密度§7-6强度理论及其相当应力§7-8各种强度理论的应用材料力学Ⅰ电子教案2§7-1概述在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力不同。第七章应力状态和强度理论20coscosp2sin2sin0p材料力学Ⅰ电子教案3第七章应力状态和强度理论Ⅰ.应力状态的概念一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。Ⅱ.一点应力状态的表示方法——应力单元体由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体──单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(stateofstress)可用一个单元体(element)及其上的应力来表示。0dzdydx,,材料力学Ⅰ电子教案4受轴向拉(压)杆单向应力状态第七章应力状态和强度理论受扭杆件2143122143纯剪切应力状态材料力学Ⅰ电子教案5横力弯曲杆件平面应力状态第七章应力状态和强度理论BCBC材料力学Ⅰ电子教案6Ⅲ.应力状态的分类一点处切应力等于零的截面称为主平面(principalplane)，主平面上的正应力称为主应力(principalstress)。在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作1，2，3。第七章应力状态和强度理论321材料力学Ⅰ电子教案7钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。当三个主应力中只有一个主应力不等于零时为单向应力状态；当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；第七章应力状态和强度理论CC材料力学Ⅰ电子教案8平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是1，也可能是2或3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。12)0(331)0(22)0(13第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案9研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：1.了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45˚斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。2.在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)(theoryofstrength,failurecriterion)的基础。第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案10本章将研究Ⅰ.平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态)的概念；Ⅱ.平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——广义胡克定律(generalizedHooke’slaw)，以及这类应力状态下的应变能密度(strainenergydensity)；Ⅲ.强度理论。第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案11§7-2平面应力状态的应力分析·主应力等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态。第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案12对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。(a)(c)(b)第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案13平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案14Ⅰ.斜截面上的应力第七章应力状态和强度理论图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法线n与x轴的夹角定义，且角以自x轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力和切应力均为正值，即以拉应力为正，以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。材料力学Ⅰ电子教案15由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dA·cos，而底面bf的面积为dA·sin。图d示出了作用于体元ebf诸面上的力。体元的平衡方程为0sinsindcossindcoscosdsincosdd0AAAAAFyyxxn，0cossindsinsindsincosdsincosdd0AAAAAFyyxxt，第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案16需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力y按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的y仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是x=y。由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2为参变量的求斜截面上应力，的公式：2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案17,00dd00即yxx22tan0主平面的方位角)2,2()90(0000；0)2cos2sin2(2000xyxdd2222xyxyx)(minmax——主应力的大小讨论：1)、的极值主应力以及主平面方位可以确定出两个相互垂直的平面分别为最大正应力和最小正应力所在平面。tnxxyxyacb第七章应力状态和强度理论正应力有极值。02--主平面材料力学Ⅰ电子教案18xyyx222000；，得出两个角度由yxxtan主平面的位置将画在原单元体上。minmax,0第七章应力状态和强度理论00±2作用面。值较小的角度对应算出两个角度；其绝对当max,yx作用面。值较小的角度对应算出两个角度；其绝对当min,yx)2,2()90(0000；minmax材料力学Ⅰ电子教案192)、切应力的极值及所在截面,2cos2sin2xyxxyx221tan——最大切应力所在的位置22minmax)2(xyx——xy面内的最大切应力01dd令)90;(011112tan2tan10)45(001由tnxxyxyacb第七章应力状态和强度理论最大正应力与最大剪应力所在平面成450材料力学Ⅰ电子教案20例：如图所示单元体，求图示斜截面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：1、求斜截面的应力2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyxMPa3.58)60sin()50()60cos(260402604000MPa3.18)60cos()50()60sin(260400030MPa50MPa60MPa40,,,xyx第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案212、求主应力、主平面22minmax)2(2xyxyxMPa760MPa78050260402604022..)()(MPa7600MPa780321.,,.主应力：504060yxx22tan016040)50(2；5220.主平面位置：31yxxx900（单位：MPa）30MPa50MPa60MPa40,,,xyx第七章应力状态和强度理论0567900.材料力学Ⅰ电子教案22Ⅱ.应力圆为便于求得，，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)(Mohr’scircleforstresses)来表示。先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：222222xyxyx第七章应力状态和强度理论⑴.应力圆方程2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx材料力学Ⅰ电子教案23而这就是如图a所示的一个圆——应力圆，它表明代表斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。OC2yx222xyx(a)第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案24⑵.应力圆的画法D(x,x)D’(y,y)cxy2RxyxR22)2(yyxDxyxD第七章应力状态和强度理论应力圆上任一点的横、纵坐标分别对应该点某一截面上正应力和切应力。即应力圆上的点对应着单元体的面。材料力学Ⅰ电子教案25绘制步骤：1、取直角坐标系——2、取比例尺（严格按比例做图）。3、找点，.),(xxD),(yyD4、连交轴于C点，以C为圆心，CD为半径画圆——应力圆。DDoCo1B2B0MPa**,1xOB,1xDB,2yOB,'2yDBD’),(yyD),(xx222222xyxyxxyoxyxyxy第七章应力状态和强度理论材料力学Ⅰ电子教案26B(y,y)OcA(x,x)yyBxAxyyBxAx点面对应；二倍角；转向同。※※结论yx。180第七章应力状态和强度理论在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点A和B所夹圆心角为180˚，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍。材料力学Ⅰ电子教案27⑶.证明22221222yxyxyOBOBOBCBOBOC)0,2(yx证得圆心位置：xyxDBCBCDR222121)2()(证得半径为：22)2(xyxRoCD1BD’2B1A2A),(xx),(yy第七章应力状态和强度理论①圆心坐标及半径材料力学Ⅰ电子教案28oCD1BD’2B1A2A),(xx),(yy主平面：τ=0,应力圆上和横轴交点对应的面max1OA1CAOC2yxxyx222)(minOA22CAOC2yxxyx222)(②主应力与主平面第七章应力状态和强度理论21主应力排序：按其代数值排序记作1，2，3的。0321AA和点;max1OAminOA2证明得：材料力学Ⅰ电子教案29oCD1BD’2B1A2A),(xx),(yy02第七章应力状态和强度理论CBDB1102tan2yxx基准——法线为x轴的正方向截面。主平面的方位角xyoxyxy02012yxx2另一角度（）逆时针正值。020221测量出两个角度，0202以D为基点，转向，顺时针负值。1CACD02证明得：材料力学Ⅰ电子教案30oCD1BD’2B1A2A),(xx),(yy③斜截面上的应力2),(