一维谐振子

2.7一维谐振子222221ˆ22dHmxmdx本节我们来讨论一维谐振子问题。一维谐振子的哈密顿量为：满足的定态定谔方程为：22222122dmxEmdx2.7一维谐振子2,,mEx为方便求解，引入系数：则方程可改写为：222()0dd这是一个变系数的二阶常微分方程，当很大时，，上式中的可略去。从而，得到上式的渐进方程22.7一维谐振子2220dd其解就是原方程的解，又由于波函数在时的有限性条件，得2/2Ae2/2Ae在有限时应该有限，在时它的行为也必须保证波函数有限。()H2.7一维谐振子为了求出在整个空间都合适的解，可以将系数视为的某一特定函数，假设方程的解为A()H代回薛定谔方程，得到待定系数满足的方程()H(2.7.2)222(1)0dHdHHdd2/2()He2.7一维谐振子其中：2/E对作泰勒展开0()Ha()H可由21(1)2(1)0vvvavvaa得221(2.7.2)(1)(2)aa2.7一维谐振子当时，的渐进行为是与的渐进行为相同。()H22aa2e若为无穷级数时，在时将趋向无穷大。为了在时，波函数仍有限，必须断为多项式。因为如果是多项式，当()H()()H()H时，它趋于无穷的行为永远比趋于零慢，从而保证了在是有限。2/2e()2.7一维谐振子此时，有22220nnndHdHnHdd这是厄米方程，其解为厄米多项式。由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的条件为12,0,1,2,3,2.7.3nn2.7一维谐振子1.级数表示：220(1)!()(2)!(2)!nknknknHknk,212,2nnn式中厄米多项式有三种重要表示：2.7一维谐振子3.微分表示：2.积分表示：22()()nntnHitedt22()(1)nnnndHeed2.7一维谐振子厄米多项式具有如下性质：1.递推关系：2.微分性质：111()()()2nnnHHnH12()ndHnHd2.7一维谐振子3.正交归一性：4.完备性：2'()()2!nnnnneHHdn0()()nnfcH式中的展开系数为：21()()2!nnncefHdn2.7一维谐振子由式（2.7.1）即可得能量本征值为：E1()0,1,2,3,2.7.42nEnn叫振动量子数。n相应的为()nH22()(1)nnnndHeed2.7一维谐振子从而其波函数为：2212()()xnnnxNeHx式中归一化常数为：nN2!nnNn由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是量子化的，并且能量间隔相等，为。一维谐振子基态能量：叫零点能。012E2.7一维谐振子MNE0AAx()Ux1、按经典力学的结论，一维谐振子的能量如图谐振子只能处于的范围内，的区域则是经典禁区。xAxA经典与量子的比较2.7一维谐振子而在量子力学中，由于隧道效应，粒子可以到达经典禁区，也就是说在所谓经典禁区内发现粒子的概率不为零。2、按经典力学的规律，在处振子的速度最大停留时间最短，在处振子的速度为零停留时间最长。将这一规律应用于微观粒子，自然会得到在处粒子出现的概率最小，而在处粒子出现的概率最大。0xxA0xxA而实际情况如何呢？2.7一维谐振子由时的波函数及概率密度的图：0,1,2n021212220xxxxxx0n0n1n1n2n2n2.7一维谐振子可以看出，在量子数较小的时候，粒子位置的概率密度的分布与经典结论明显不同。n可以推断，随着量子数的增大，概率密度的平均值将越来越接近经典结论。n