7章理财计算基础

理财计算基础张宇老师第一节概率基础第一单元随机事件4随机事件的几个基本概念—试验在相同条件下，对事物或现象所进行的观察例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数1.试验的特点可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果5随机事件的几个基本概念—事件1.事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)例如：掷一枚骰子出现的点数为32.随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件例如：掷一枚骰子可能出现的点数3.必然事件：每次试验一定出现的事件，用S表示例如：掷一枚骰子出现的点数小于74.不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数大于66事件与样本空间1.基本事件一个不可能再分的随机事件例如：掷一枚骰子出现的点数2.样本空间一个试验中所有基本事件的集合，用S表示例如：在掷枚骰子的试验中，S{1,2,3,4,5,6}在投掷硬币的试验中，S{正面，反面}7事件的关系和运算(事件的包含)若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或AB或BAABBA8事件的关系和运算(事件的并或和)事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B的并。它是由属于事件A或事件B的所有的样本点组成的集合，记为A∪B或A+BBASA∪B9事件的关系和运算(事件的交或积)事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为B∩A或ABABSA∩B10事件的关系和运算(互斥事件)事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生，则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点ABSA与B互不相容11事件的关系和运算(事件的逆)一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间Ｓ，则称事件B是事件A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成的集合，记为A。ASA12事件的关系和运算(事件的差)事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合，记为A-B。SA-BAB第二单元概率14事件的概率1.事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量2.表示事件A出现可能性大小的数值3.事件A的概率表示为P(A)4.概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义15概率的古典定义•如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中所包含的基本事件个数n的比值，记为nmAAP＝事件个数样本空间所包含的基本所包含的基本事件个数事件)(16概率的古典定义(例题分析)•【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从该公司中随机抽取1人，问：•（1）该职工为男性的概率•（2）该职工为炼钢厂职工的概率某钢铁公司所属企业职工人数工厂男职工女职工合计炼铁厂炼钢厂轧钢厂4000320090018001600600620048001500合计850040001250017概率的古典定义(例题分析)68.0125008500)(全公司职工总人数全公司男性职工人数AP•解：(1)用A表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则(2)用B表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则384.0125004800)(全公司职工总人数炼钢厂职工人数BP18概率的统计定义•在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为pnmAP)(19概率的统计定义(例题分析)•【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标•为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电•措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。•解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次•试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概•率的统计定义有4.03012)(试验的天数超过用电指标天数AP20主观概率定义1.对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定2.概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断3.例如，我认为2008年的中国股市是一个盘整年21概率的性质1.非负性对任意事件A，有0P12.规范性必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P(S)=1；P()=03.可加性若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)22概率的加法法则•法则一1.两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)2.事件A1，A2，…，An两两互斥，则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)23概率的加法法则(例题分析)•【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率（总职工：12500，炼纲厂：4800，轧钢厂：1500）。•解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B的和，其发生的概率为504.0125001500125004800)()()(BPAPBAP24•法则二•对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)概率的加法法则BASA∪B25•【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。•解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝{至少读一种报纸}。则•P(C)=P(A∪B)•=P(A)+P(B)-P(A∩B)•=0.2+0.16-0.08•=0.28概率的加法法则(例题分析)26•在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为条件概率P(B)P(AB)P(A|B)=S事件AB及其概率P(AB)事件B及其概率P(B)事件A事件B一旦事件B发生271.用来计算两事件交的概率2.以条件概率的定义为基础3.设A、B为两个事件，若P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)概率的乘法公式28概率的乘法公式(例题分析)•【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？•解：设Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2)0224.09991491000150)A|A(P)A(P)AA(P12121291.一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率，则称两个事件独立2.若事件A与B独立，则P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A)3.此时概率的乘法公式可简化为•P(AB)=P(A)·P(B)推广到n个独立事件，有•P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)事件的独立性30•【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求•（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率•（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率•解：设A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件，A3为丙机床需要看管的事件，依题意有•(1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)•=0.90.80.85=0.612•(2)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)•=0.90.8(1-0.85)=0.108事件的独立性(例题分析)第二节统计基础32•总体：把研究对象的某项数值指标的值的全体叫总体。•个体：总体中的每个元素称为个体。•样本：一般情况下在研究总体的特征时不会调查到所有的个体，因此经常从总体中抽取一部分个体作为一个集合进行研究，这个集合就是样本。•样本量：样本中个体的数目叫样本量。•统计量：任何关于样本的函数，只要不含有未知参数，就可以作为统计量。几个基本术语第一单元统计表和统计图34统计表•三维统计表月收入学历高中底男女男女男女2000元以下017912172000—800015151110648000以上85432135统计图•直方图0102030405060708090第一季度第二季度第三季度第四季度东部西部北部36统计图GDP散点图0500010000150002000019851990199520002005年份GDP散点图37统计图•饼状图储蓄62%债券18%基金15%股票5%储蓄债券基金股票38统计图•盒形图第二单元常用的统计量40算术平均数简单均值nxnxxxxniin121nfMffffMfMfMxkiiikkk1212211加权均值设一组数据为：x1，x2，…，xn各组的组中值为：M1，M2，…，Mk相应的频数为：f1，f2，…，fk41几何平均数1.n个变量值乘积的n次方根2.适用于对比率数据的平均3.主要用于计算平均增长率4.计算公式为nnmxxxG215.利用跨期收益率的计算公式nnrrrr)1()1()1(12142几何平均数(例题分析)•【例】某水泥生产企业1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2000年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%。求各年的年平均增长率。%91.114%120%116%109321nnmxxxG年平均增长率＝114.91%-1=14.91%43几何平均数(例题分析)•【例】一位投资者购持有一种股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率%0787.81%9.101%5.125%1.102%5.1044G几何平均：算术平均：%5.84%9.1%5.25%1.2%5.4G44中位数(位置的确定)•排序后处于中间位置上的值22/)1(nx中位数位置Me50%50%个数为奇数：个数为偶数：2)12/(2/nnxx中位数位置45中位数(9个数据的算例)•【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789521921n位置中位数:108046中位数(10个数据的算例)•【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:66075078085096010801250150016302000位置:1234567891061252:nn；位置102021080960中位数47众数出现次数最多的变量值不同品牌饮料的频数分布饮料品牌频数比例百分比(%)可口可乐旭日升冰茶百事可乐汇源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合计501100解：这里的变量为“饮料品牌”，这是个