抛物线的几何性质.ppt1

抛物线的简单几何性质一、温故知新(一)圆锥曲线的统一定义平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e＞1时，是双曲线.当0e1时，是椭圆；(定点F不在定直线l上)当e=1时，是抛物线.(二)抛物线的标准方程(1)开口向右y2=2px(p0)(2)开口向左y2=-2px(p0)(3)开口向上x2=2py(p0)(4)开口向下x2=-2py(p0)yxo﹒﹒yxoyxo﹒yxo﹒图形焦点准线标准方程课堂练习求适合下列条件的抛物线的方程：（1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且经过点M(-5,4).20xy2165yx2上述是我们上节课所学得抛物线的几种标准方程形式,这节课我们来研究抛物线的简单几何性质:范围1、yox)0,2(pF由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0x二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?所以抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．对称性2、yox)0,2(pF(,)xy关于x轴对称(,)xy故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，则(-y)2=2px，即点(x,-y)也在抛物线上,顶点3、yox)0,2(pF定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）.离心率4、yox)0,2(pFP(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2pp,2|AB|=2p通径5、2p越大，抛物线张口越大.这就是抛物线方程中2p的几何意义。连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径6、xyOFP1、抛物线的焦半径公式：.2|:|)0(2;2|:|)0(2;2|:|)0(2;2|:|)0(2,),(0202020200pyPFppyxpyPFppyxpxPFppxypxPFppxyyxP在对应抛物线上点.||,)0(2),(),(22122211pxxABFppxyyxByxA则弦的端点的的过焦点是、、若通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。xOyFA7.焦点弦：焦点弦公式：),(11yx下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦点弦公式。B),(22yx12pxx图形标准方程焦点坐标准线方程范围对称轴顶点坐标离心率yxoyxoyxoyxo（0，0）x轴e=1（0，0）（0，0）（0，0）x轴y轴y轴e=1e=1e=1x≥0四种抛物线的标准方程的几何性质的对比x≤0y≥0y≤0方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.yox)0,2(pFP(x,y)4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21P越大,开口越开阔填空练习：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？（1）抛物线只位于个坐标平面内，它可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有条对称轴，对称中心；（3）抛物线只有个顶点、个焦点、条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，其值为．半1无1111求适合下列条件的抛物线方程：(1)顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M(5,-4);(2)顶点在原点，焦点是F(0,5);(3)顶点在原点，准线是x=4;(4)焦点是F(0,-8)，准线是y=8.2165yx216yx220xy232xy变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.22典型例题：例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方程.22当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论)0(2),22,2(2PPxyMx程为所以，可设它的标准方点点，并且经过轴对称，它的顶点在原解：因为抛物线关于222)22(2pPM，即在抛物线上，所以因为点xy42准方程是因此，所求抛物线的标24yx作图：(1)列表（在第一象限内列表）x01234…y…(2)描点：022.83.54(3)连线：yxo12344321通常作抛物线y2=2px,只需描出横坐标分别为0,0.5p,2p的对应5点，再用光滑曲线连接即可。并用描点法画出图形探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=445故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)845例3：如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线，宽为7m，高为0.7m,求这条抛物线的方程。xyO7AB0.7解：如图建立直角坐标系，由题设可设抛物线的方程为：x2=2py（p0）易知A（-3.5,0.7)，将其代入抛物线方程，得：（-3.5)2=2p0.72P=17.5抛物线的方程为：x2=17.5y（1）已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P=。22(0)ypxp（2）抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为。24yx4342（3）已知直线x-y=2与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是。24yx(4,2)课堂练习5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)624yx4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为15.6、已知Q(4,0)，P为抛物线上任一点，则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.21yx32102192322168yxxy或22124yxyx或BC求这个正三角形的边长上另外两个顶点在抛物线于坐标原点正三角形的一个顶点位例,02,32ppxy解:如图8—26,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为,则:OBOApxypxy又,2,222212122222121yxyx,0px2px2xx212221即0)xx(p2)xx(2122210)p2xx)(xx(21212121,02,0,0xxpxx21:yy由此可得即线段AB关于x轴对称,因为x轴垂直于AB,且∠Aox=30°3330tanxy11,p2yx211.p34y2AB1,p32y1例４.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个正三角形的边长.例5.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(P0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则ΔAOB的面积为()A.8p2B.4p2C.2p2D.p2),3aa为（解：由题可设一个顶点paapa32322则由.34p三角形的边长为),aa为（解：由题可设一个顶点papaa222则由..42BpSAOB选引伸：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．OFBACDEH分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．xyxyEOFBADCH证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．.)(,),0,(,2:42达式的函数表并写出距离的最小值上的点到点求曲线的坐标为设点已知抛物线方程为例afddAaAxy222)(||:),,(:yaxPAyxP则的坐标为设抛物线上任一点解)12()]1([2)(22aaxxax)0(x;12,1,101minadaxaa时则当时即若.||,0,101minadxaa时则当时即若.)1(||)1(12,aaaad综上（1）已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P=。22(0)ypxp（2）抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为。24yx4342（3）已知直线x-y=2与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是。24yx(4,2)四、课堂练习•2．若a∈R，则“a＞3”是“方程y2＝(a2－9)x表示开口向右的抛物线”的()•A．充分不必要条件•B．必要不充分条件•C．充要条件•D．既不充分也不必要条件【解析】由抛物线y2＝(a2－9)x开口向右可得a2－9＞0，即得a＞3或a＜－3，∴“a＞3”是“方程y2＝(a2－9)x表示开口向右的抛物线”的充分不必要条件，故应选A.【答案】A•4．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．【解析】抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为Fp2，0，又线段OA的中点为1，12，且kOA＝12.那么线段OA的垂直平分线为：y－12＝－2(x－1)，将Fp2，0代入，得0－12＝－2p2－1，∴p＝52.故抛物线方程为y2＝5x，故准线方程为：x＝－54.【答案】x＝－54•5．设抛物线y2＝8x，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过AB中点M作x轴平行线交y轴于N，若|MN|＝2，则|AB|＝________.【解析】由抛物线y2＝8x，得p＝4，设其准线为l，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，则|AA1|＋|BB1|＝2(|MN|＋2)＝8.又|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝8.【答案】85.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线