极坐标与参数方程专题复习

专题：极坐标与参数方程1.平面直角坐标系设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：_______________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.x′＝λ·x，λ0，y′＝μ·y，μ0例、将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.求曲线C的标准方程；知识点梳理2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的，θ称为点M的.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.极径极角x＝ρcosθ，y＝ρsinθ(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆________________圆心为(r,0)，半径为r的圆_____________________圆心为，半径为r的圆_________________ρ＝2rcosθ－π2≤θπ2r，π2ρ＝2rsinθ(0≤θπ)ρ＝r(0≤θ2π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线过点，与极轴平行的直线a，π2ρcosθ＝a－π2θπ2ρsinθ＝a(0θπ)2.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)圆椭圆抛物线y2＝2px(p0)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)(x-a)2＋(y-b)2＝r2x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)x2a2＋y2b2＝1(ab0)𝑥=𝑎+𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=𝑏+𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃(𝜃为参数)题型一、三种方程形式的互化题型二、求曲线的极坐标方程1.已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为x＝－1＋t，y＝t(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝3π4.求圆C和直线l的极坐标方程；题型三、距离的最值：用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点：设点的坐标，用该点在所在曲线的的参数方程来设②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化简题型四、直线参数方程中t的几何意义特别提醒：求参数的取值范围时，需要考虑∆题型五：极坐标与参数方程中面积的几种求法1、𝑆=|12𝜌𝐴∙𝜌𝐵sin𝜃𝐴−𝜃𝐵|2、𝑆=12|𝜌𝐴−𝜌𝐵|𝑑𝑜→𝑙3、𝑆=12|𝐴𝐵|𝑑𝑜→𝑙其中𝐴𝐵=𝑡𝐴−𝑡𝐵(利用参数方程)𝐴𝐵=2𝑟2−𝑑2（直线与圆相交问题）4、利用参数坐标解题