电路储能元件

含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。特点：1.动态电路6.1动态电路的方程及其初始条件当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。例+-usR1R2（t=0）i0ti2/RUiS)(21RRUiS过渡期为零电阻电路t1uct0i=0,uC=UsK接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi(t→)初始状态过渡状态新稳态USK未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0K+–uCUsRCi(t=0)电容电路uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路初始状态过渡状态新稳态t1US/Rit0+–uLUsRLi(t→)K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0K+–uLUsRLi(t=0)电感电路过渡过程产生的原因电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。电路结构、状态发生变化换路支路接入或断开电路参数变化+–uLUsRLi(t0)SLUuRiSUtddiLRi2.动态电路的方程SccUutdduRC+–uCUsRCi(t0)ScUuRi应用KVL和元件的VCR得：一阶电路描述电路的方程是一阶微分方程。一阶电路中只有一个动态元件。（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；(1)t=0＋与t=0－的概念认为换路在t=0时刻进行0－换路前一瞬间0＋换路后一瞬间3.电路的初始条件)(lim)0(00tfftt)(lim)0(00tfftt0－0＋0tf(t))0()0(ffd)(1)(tCiCtud)(1d)(100tiCiCd)(1)0(0tCiCut=0+时刻d)(1)0()0(00iCuuCCiucC+-(2)电容的初始条件当i()为有限值时q(0+)=q(0－)uC(0+)=uC(0－)换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。q=CuC电荷守恒结论d)(1)(tLuLtid))(1d)(100tuLuLduLiiLL)(1)0()0(00iuL+-L(3)电感的初始条件t=0+时刻duLitL)(1)0(0当u为有限值时L(0＋)=L(0－)iL(0＋)=iL(0－)LLi磁链守恒换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结论L(0+)=L(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc(0－)uC(0+)=uC(0－)（4）换路定律（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件注意:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。5.电路初始值的确定例1求uC(0+)+-10ViiC+uC-k10k40k(2)由换路定律uC(0+)=uC(0－)=8V(1)由0－电路求uC(0－)或iL(0－)+-10V+uC-10k40kuC(0－)=8V电容开路iL(0+)=iL(0－)=2A由换路定律:例2t=0时闭合开关k,求iL(0+)iL+uL-L10VK14先求)0(Li解AiL24110)0(10V14电感短路求初始值的步骤:1.由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；2.由换路定律得uC(0+)和iL(0+)。3.画0+等效电路。4.由0+电路求所需各变量的0+值。b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。a.换路后的电路（取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、电感电流方向）。求uC(0+),iL(0+)例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiCiL(0+)=iL(0－)=ISuC(0+)=uC(0－)=RIS解RIS由0－电路得：例4iL+uL-LK2+-48V32C求K闭合瞬间各支路电流和电感电压12A24V+-48V32+-iiC+-uL由0+电路得：AiC83/)2448()0(Ai20812)0(VuL2412248)0(VuuCC24122)0()0(AiiLL124/48)0()0(解由0－电路得：iL2+-48V32+－uC例5求K闭合瞬间流过它的电流值。iL+200V-LK100+uC100100C－解（1）确定0－值AiiLL1200200)0()0(VuuCC100)0()0(（2）给出0＋等效电路Aik21100100100200)0(1A+200V-100+100V100100－ki+uL－iCViuLL100100)0()0(AuiCC1100/)0()0(6.2一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1.RC电路的零输入响应iK(t=0)+–uRC+–uCRRCp1特征根特征方程RCp+1=0tRCe1AptCeuA则已知uC(0－)=U00)0(0ddUuutuRCCCC0CRuutuCiCdduR=Ri零输入响应代入初始值uC(0+)=uC(0－)=U0A=U000teUuRCtctRCcAeu1000teIeRURuiRCtRCtCRCtRCtCeRURCeCUtuCi00)1(dd或tU0uC0I0ti0令=RC,称为一阶电路的时间常数秒伏安秒欧伏库欧法欧RC（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：连续函数跃变（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短=RC大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短U0tuc0小大11RCp工程上认为,经过3－5,过渡过程结束。：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0235tceUu0U0U0e-1U0e-2U0e-3U0e-5＝t2－t1t1时刻曲线的斜率等于)(1dd1011tueUtuCtttCI0tuc0t1t2)(368.0)(12tutuCC次切距的长度（3）能量关系RdtiWR02电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电阻吸收（消耗）能量：RdteRURCt200)(2021CUuCR+－CdteRURCt20200220|)2(RCteRCRU例已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。i3K3+uC265F－i2i1解这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：00teUuRCtcsRCVU2045240代入02420tVeutc分流得：AeuitC20164Aeiit2012432Aeiit20132312.RL电路的零输入响应iK(t=0)USL+–uLRR1特征方程Lp+R=0LRp特征根01)0()0(IRRUiiSLL00ddtRitiLptAeti)(代入初始值i(0+)=I0A=i(0+)=I00)(00teIeItitLRpt得t0iL+–uLRRLtLLeRIdtdiLtu/0)(0)(/0teItiRLtL-RI0uLttI0iL0从以上式子可以得出：连续函数跃变（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L/R有关；令=L/R,称为一阶RL电路时间常数][][][][][][秒欧安秒伏欧安韦欧亨RL大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短时间常数的大小反映了电路过渡过程时间的长短=L/R1/1RLp（3）能量关系RdtiWR02电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设iL(0+)=I0电阻吸收（消耗）能量：RdteIRLt2/00)(2021LIdteRIRLt/20200220|)2/(RCteRLRIiL+–uLR例1t=0时,打开开关K，求uv。uV(0+)=－10000V造成V损坏。现象：电压表坏了电压表量程：50V0100002500teiRutLVViL(0+)=iL(0－)=1A0/teitLsVRRL4104100004解iLK(t=0)+–uVL=4HR=10VRV10k10VkRV10例2t=0时,开关K由1→2，求电感电压和电流及开关两端电压u12。iLK(t=0)+–24V6H3446+－uL2120V12A2tedtdiLueitLLtLsRL166解AiiLL26366//32424)0()0(66//)42(3RVeiutL424242412小结4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数RC电路=RC,RL电路=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。teyty)0()(iL(0+)=iL(0－)uC(0+)=uC(0－)RC电路RL电路动态元件初始能量为零，由t0电路中外加输入激励作用所产生的响应。6.3一阶电路的零状态响应零状态响应SCCUutuRCdd列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0非齐次线性常微分方程解答形式为：'cccuuu1.RC电路的零状态响应齐次方程通解非齐次方程特解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解RCtCAeu变化规律由电路参数和结构决定全解uC(0+)=A+US=0A=－US由起始条件uC(0+)=0定积分常数A的通解0ddCCutuRCSCUuRCtSCCCAeUuutu)(通解（自由分量，暂态分量）Cu特解（强制分量，稳态分量）CuSCCUutuRCdd的特解)0()1(teUeUUuRCtSRCtSScRCtSeRUtuCiddC-USuC‘uC“UStiRUS0tuc0（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：连续函数跃变稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）+（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电慢，小充电就快。（3）响应与外加激励成线性关系；（4）能量关系221SCU电容储存：电源提供能量：20dSSSCUqUtiU221SCU电阻消耗tRRUtRiRCSted)(d2002RC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。例t=0时,开关K闭合，已知uC（0－）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC＝80V时的充电时间t。50010F+-100VK+－uCi解(1)这是一个RC电路零状态响应问题，有：)0()Ve-100(1)1(200t-teUuRCtScsRC3510510500AeeRUtuCitRCtS200C2.0dd（2）设经过t1秒，uC＝80V8.045mst)e-