电路分析基础(张永瑞)第5章

第五章正弦电路的稳态分析第五章正弦电路的稳态分析5.1正弦电压和电流5.2利用相量表示正弦信号5.3R、L、C元件VAR的相量形式和KCL、KVL的相量形式5.4阻抗与导纳5.5电路基本元件的功率和能量5.6正弦稳态电路中的功率5.7正弦稳态电路中的最大功率传输5.8正弦稳态电路的相量分析法5.9三相电路概述5.10小结第五章正弦电路的稳态分析5.1正弦电压和电流5.1.1正弦量的三要素所谓周期信号，就是每隔一定的时间T，电流或电压的波形重复出现；或者说，每隔一定的时间T，电流或电压完成一个循环。图5.1-1给出了几个周期信号的波形，周期信号的数学表示式为)()(kTtftf式中k为任何整数。周期信号完成一个循环所需要的时间T称为周期，单位为秒(s)。第五章正弦电路的稳态分析图5.1-1周期信号第五章正弦电路的稳态分析周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，用f表示。显然，频率与周期的关系为Tf1频率的单位为赫兹(Hz)。我国电力网所供给的交流电的频率是50Hz，其周期是0.02s。实验室用的音频信号源的频率大约从20~20×103Hz左右，相应的周期为0.05s~0.05ms左右。第五章正弦电路的稳态分析图5.1-2正弦电流第五章正弦电路的稳态分析按正弦(余弦)规律变化的周期信号，称为正弦交流电，简称交流电。以电流为例，其瞬时表达式为)cos()(imtIti由于正弦信号变化一周，其相位变化了2π弧度，于是有2)(])([iitTtfT22ω表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，称为角频率，其单位是弧度/秒(rad/s)。当t=0时，相位角为θi，称为初相位或初相角，简称初相。工程上为了方便，初相角θi常用角度表示。第五章正弦电路的稳态分析5.1.2相位差假设两个正弦电压分别为)cos()()cos()(222111tUtutUtumm它们的相位之差称为相位差，用ψ表示，即2121)()(tt两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差。第五章正弦电路的稳态分析图5.1-3相位差第五章正弦电路的稳态分析例5.1-1已知正弦电流i(t)的波形如图5.1-4所示，角频率ω=103rad/s。试写出i(t)的表达式，并求i(t)达到第一个正的最大值的时间t1。图5.1-4例5.1-1用图第五章正弦电路的稳态分析解由图可知，i(t)的振幅为100A，即Attii)10cos(100)(3当t=0时，电流为50A，用t=0代入上式，得5.0cos50cos100)0(iii故第五章正弦电路的稳态分析当ωt1=π/3时，电流达到正最大值，即msti047.110331Atti310cos100)(3于是3i由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即第五章正弦电路的稳态分析例5.1-2设有两频率相同的正弦电流AttiAtti)40sin(10)60cos(521）（）（问哪个电流滞后，滞后的角度是多少?解首先把i2(t)改写成用余弦函数表示，即Atttti)50cos(10)5090sin(10)40sin(10)(2110)50(6021故相位差第五章正弦电路的稳态分析5.1.3有效值正弦信号的有效值定义为：让正弦信号和直流电分别通过两个阻值相等的电阻。如果在相同的时间T内(T可取为正弦信号的周期)，两个电阻消耗的能量相等，那么，我们称该直流电的值为正弦信号的有效值。当直流电流I流过电阻R时，该电阻在时间T内消耗的电能为RTIW2第五章正弦电路的稳态分析当正弦电流i流过电阻R时，在相同的时间T内，电阻消耗的电能为dttRidttpWTT)()(002~上式中p(t)表示电阻在任一瞬间消耗的功率，即p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)。根据有效值的定义，有dttRiRTIWWT)(022~第五章正弦电路的稳态分析TdttiTI02)(1故正弦电流的有效值为正弦电流的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根，故有效值也称为均方根值。类似地，可得正弦电压的有效值为TdttuTU02)(1(5.1-5)第五章正弦电路的稳态分析将正弦电流的表达式)cos()(imtIti代入(5.1-5)式，得正弦电流的有效值为mmTimTimIIdttITdttITI707.021)](2cos1[21)(cos102022第五章正弦电路的稳态分析同理，可得正弦电压的有效值mmUUU707.021必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是有效值。引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成)cos(2)cos()()cos(2)cos()(uumiimtUtUtutItIti第五章正弦电路的稳态分析5.2利用相量表示正弦信号一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。设A为一复数，a1和a2分别为其实部和虚部，则jaejaaA21代数型指数型式中a称为复数A的模；φ称为复数A的辐角。第五章正弦电路的稳态分析图5.2-1复数的图示第五章正弦电路的稳态分析122221aaarctgaaasincos21aaaa]Im[],Re[21AaAa实部a1和虚部a2也表示为和aA第五章正弦电路的稳态分析5.2.1利用相量表示正弦信号假设某正弦电流为sincos)cos()(jetItijim根据欧拉公式可以把复指数函数Imej(ωt+θi)展开成)sin()cos()(immtjmtjItIeIii)cos(]Re[)()(imtjmtIeItii(5.2-3)第五章正弦电路的稳态分析]Re[][]Re[)()(tjmjmetjmeIeeIReItitjii式中ijmmeII把式(5.2-3)进一步写成第五章正弦电路的稳态分析图5.2-2相量图第五章正弦电路的稳态分析)cos(1imtI]Re[)(tjmeIti]Re[]Re[]Re[)cos()(tjmtjjmtjmumeUeeUeUtUuuuumjmmUeUUu第五章正弦电路的稳态分析图5.2-3旋转相量及其在实轴上的投影第五章正弦电路的稳态分析例如，已知角频率为ω的正弦电流的相量，那么该电流的表达式为AeIjm305Atti)30cos(5)(若已知正弦电压u=10cos(ωt-45°)V，则电压相量为VeUjm45101045第五章正弦电路的稳态分析相量也可以用有效值来定义，即umujimijUUUeUIIIeIui22mmUUII2121第五章正弦电路的稳态分析5.2.2几个定理1.定理1如果K是一个实常数，A(t)是任何实变数t的复函数，则)]([)](Re[tAKPetKA证明设)](Re[)()](Re[)()()()()()(12121tAktKatKAtjKatKatKAtjatatA则故第五章正弦电路的稳态分析2.定理2如果A(t)和B(t)是任何实变数t的复函数，则)](Re[)](Re[)]()(Re[tBtAtBtA)](Re[)](Re[)()()]()(Re[),()()(),()()(112121tBtAtbtatBtAtjatbtBtjatatA证明设则第五章正弦电路的稳态分析3.定理3设相量jAeA，则]Re[)(Re)][Re(tjtjtjeAjeAdtdeAdtd)Re()][Re()(tjtjAedtdeAdtd)(Re]Re[]Re[)sin()]cos([tjtjtjeAdtdeAjAejtAtAdtd）（第五章正弦电路的稳态分析4.定理4设和为相量，ω为角频率。如果在所有时刻都满足AB]Re[]Re[tjtjeBeA则BA第五章正弦电路的稳态分析第五章正弦电路的稳态分析例5.2–1电路如图5.2-4(a)所示，已知电流i1和i2分别为AttiAtti)1.53cos(10)()9.36cos(5)(21图5.2–4例5.2-1用图第五章正弦电路的稳态分析第五章正弦电路的稳态分析5.3R、L、C元件VAR和KCL、KVL的相量形式5.3.1R,L,C元件VAR的相量形式1.电阻元件假设电阻R两端的电压与电流采用关联参考方向，如图5.3-1所示。设通过电阻的正弦电流为)cos()(imtIti第五章正弦电路的稳态分析5.3-1电阻元件第五章正弦电路的稳态分析对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和电压之间满足欧姆定律，即)cos()cos()()(umimtUtRItRituiummRIU电阻上的正弦电流和电压用相量表示为]Re[)cos()(tjmimeItIti]Re[)cos()(tjmumeUtUtu第五章正弦电路的稳态分析ujmmijmmeUUeII,根据欧姆定律，有]Re[]Re[tjmtjmeIReU]Re[]Re[tjmtjmeIeUIRUIRUmmiujmjmeRIeUiuRUmIm第五章正弦电路的稳态分析图5.3-2电阻元件的电流、电压波形和相量图第五章正弦电路的稳态分析2.电感元件设有一电感L，其电压、电流采用关联参考方向，如图5.3-3(a)所示，当通过电感的电流为)cos()(imtIti)sin()(imtLIdtdiLtu)cos()90cos(umimtUtLI第五章正弦电路的稳态分析图5.3-3电感元件第五章正弦电路的稳态分析第五章正弦电路的稳态分析90iummLIULmmXLIUIU它们振幅之间的关系为式中XL=ωL=2πfL具有电阻的量纲，称为感抗。当L的单位为H，ω的单位为rad/s时，XL单位为Ω。第五章正弦电路的稳态分析对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的感抗越大；反之越小。]Re[)cos()(]Re[)cos()(tjmumtjmimeUtUtueItItiujmmijmmeUUeII,式中dtdiLu根据]Re[]Re[tjmtjmeIdtdLeU]Re[]Re[tjmtjmeILjeU第五章正弦电路的稳态分析LjIUIUIjXUIjXILjUmmLmLmm(5.3-6)因为(5.3-6)式可以写成)90(iiujmjmjmeLIeLIjeU90,iummLIU第五章正弦电路的稳态分析图5.3-5电感元件的电流、电压波形图第五章正弦电路的稳态分析3.电容元件图5.3-6电容元件第五章正弦电路的稳态分析当电容两端的电压为)cos()(umtUtu时，通过电容的电流)cos()90cos()sin(imumumtItCUtCUdtduCi90uimmCUI第五章正弦电路的稳态分析通过电容的电流与电容电压是相同频率的正弦量，而且电流的相位超前电压90°。它们振幅之间的关系为fCCXXCIUIUCCmm2111具有电阻的量纲，称为容抗。当C的单位为F，ω的单位为rad/s时，XC的单